Vollständige Induktion, TU Dortmund

Question

Aufgabe:

1. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt:

$\sum\limits_{i=0}^{n}{2^i}$ = $2^{n+1}$ - 1

2. Sei x ∈ R mit x ≥ −1. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen
Zahlen n ∈ N gilt:

$(1 + x)^{n}$ ≥ n x + 1

Problem/Ansatz:

Hallo, wie löse ich am besten diese Aufgabe? Vielen Dank im voraus.

Comments

To prove this statement by complete induction, we need to show that it holds for the base case and that if it holds for some n, it also holds for n+1.

Base Case: n = 0.
In this case, the statement is true. The left-hand side of the equation is equal to 2⁰ = 1 and the right-hand side is equal to 2^(0+1) - 1 = 2 - 1 = 1.

Inductive Step: Assume that the statement holds for some n, i.e.
( \sum\limits_i=0ⁿ{2ⁱ} ) = ( 2ⁿ⁺¹ ) - 1

We need to show that it also holds for n+1, i.e.
( \sum\limits_i=0ⁿ⁺¹{2ⁱ} ) = ( 2ⁿ⁺² ) - 1

We can use the previous assumption and the formula for the sum of an arithmetic series to find the sum for n+1:
( \sum\limits_i=0ⁿ⁺¹{2ⁱ} ) = ( \sum\limits_i=0ⁿ{2ⁱ} ) + 2^(n+1) = ( 2ⁿ⁺¹ ) - 1 + 2^(n+1) = 2^(n+1)(2-1) + 2^(n+1) = 2^(n+2) -1

So, by induction, the statement holds for all natural numbers n.

Answer 1

Zu 1) Induktionsschritt: Addiere auf beiden Seiten der zu beweisenden Formel 2ⁿ⁺¹. Dann steht links die gewünschte Summe ($\sum\limits_{i=0}^{n+1}{2^i}$ ) und rechts 2ⁿ⁺¹ - 1 + 2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ⁺¹ - 1 = 2ⁿ⁺²-1, also das, was im Übergang von n auf n+1 entsteht.

Answer 2

Induktionsschritt zu 2.:

$(1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)\stackrel{IV}{\geq}(nx+1)(1+x)=$

$nx^2+nx+x+1\geq (n+1)x+1$