Extrema von Funktionen berechnen?

Question

Guten Tag, wie würdet ihr diese Aufgaben lösen?

1) Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f : R² → R mit f(x, y) = (x² − 2y²)e^x auf der Ellipse x² + 2y² = 6.
2) Wir betrachten einen geraden Kreiszyliner mit Radius r und Höhe h auf den eine Halbkugel (ebenfalls mit Radius r) aufgesetzt ist. Wie müssen r und h gewählt werden, damit bei einem vorgegebenes Volumen von 5000 cm³ die Gesamtoberfläche möglichst klein wird?

Vielen Dank schonmal.

Answer 1

1) Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f : R2 → R mit

f(x, y) = (x^2 − 2y^2)•\( e^{x} \) auf der Ellipse x^2 + 2y^2 = 6 →2y^2 = 6-x^2

f(x) = (2x^2 − 6)•\( e^{x} \)

\( \frac{df(x)}{dx} \)=4x•\( e^{x} \)+ (2x^2 − 6)•\( e^{x} \)=\( e^{x} \)•(2x^2+4x-6)

x^2+2x=3

(x+1)^2=3+1=4|\( \sqrt{} \)

1.)x+1=2

x₁=1

2.)x+1=-2

x₂=-3

y-Werte :....

2) Wir betrachten einen geraden Kreiszylinder mit Radius r und Höhe h auf den eine Halbkugel (ebenfalls mit Radius r) aufgesetzt ist. Wie müssen r und h gewählt werden, damit bei einem vorgegebenes Volumen von 5000 cm3 die Gesamtoberfläche möglichst klein wird?

Oberfläche Kreiszylinder (oben offen):O= r^2*π+2rπh

Oberfläche Halbkugel: O=3r^2*π

Gesamtoberfläche O(r,h)=3r^2*π+2r π h soll minimal werden.

V (Zylinder)=r^2*π*h

V(Halbkugel)=\( \frac{2}{3} \) r^3π

5000=r^2*π*h+\( \frac{2}{3} \) r^3 π   

h=...  in  O(r,h)=3r^2*π+2r π h  einsetzen.

Ableitung =0

...