Aloha :)
Die Regel von Sarrus hilft dir bei Teil (i) nicht weiter, weil sie nur für \(3\times3\)-Matrizen gilt. Hier solltest du einige Eigenschaften der Determinante ausnutzen. Ich mache das mal detailliert in Einzelschritten, damit du diese Regeln kennenlernst. Im Folgenden ist mit "Reihe" immer eine "Zeile" oder eine "Spalte" gemeint. Legen wir los:
$$D=\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 2 & 1 & 1 & 0\\3 & a & 1 & a & 0\\0 & 1 & 1 & 1 & 0\\0 & 4 & -1 & 1 & 0\\a & 0 & a & 0 & a\end{array}\right)$$
Du kannst einen Faktor aus einer Reihe vor die Determinante ziehen. Wir ziehen aus der letzten Zeile den Faktor \(a\) heraus.$$D=a\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 2 & 1 & 1 & 0\\3 & a & 1 & a & 0\\0 & 1 & 1 & 1 & 0\\0 & 4 & -1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Du kannst eine Vielfaches einer Reihe zu einer anderen addieren oder subtrahieren. Wir subtrahieren Spalte 4 von Spalte 2:$$D=a\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 1 & 1 & 0\\3 & 0 & 1 & a & 0\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 3 & -1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Wir subtrahieren Spalte 5 von Spalte 1 und 3:$$D=a\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 1 & 1 & 0\\3 & 0 & 1 & a & 0\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 3 & -1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Wir subtrahieren Zeile 3 von Zeile 1 und Zeile 2 und addieren Zeile 3 zu Zeile 4:$$D=a\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\3 & 0 & 0 & a-1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 3 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Wir subtrahieren 3-mal Zeile 1 von Zeile 4:$$D=a\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\3 & 0 & 0 & a-1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Wir subtrahieren Spalte 3 von Spalte 4:$$D=a\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\3 & 0 & 0 & a-1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Wir ziehen den Faktor \(3\) aus Spalte 1 und den Faktor \(2\) aus Zeile 4 heraus:$$D=3\cdot2\cdot a\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & a-1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Wir subtrahieren das \((a-1)\)-fache der Spalte 1 von Spalte 4:$$D=6a\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Wenn du zwei Reihen vertauschst, wechselt die Determinante ihr Vorzeichen. Wir vertauschen die ersten beiden Spalten:$$D=-6a\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die Determinante der Einheitsmatrix ist \(1\), daher ist:$$D=-6a$$
Die Determinante gibt das von den 5 Vektoren aufgespannte 5-dimensionale Volumen an. Wenn die Matrix den Rang \(5\) haben soll, muss das Volumen \(\ne0\) sein, denn sonst wird kein 5-dimensionaler Raum augespannt. Das heißt, für \(a\ne0\) hat die Matrix den Rang \(5\).
Bei (ii) kannst du die Determinante zwar mit der Regel von Sarrus berechnen, aber auch hier geht es einfacher. Nachdem du die erste Zeile von der dritten Zeile subtrahiert hast, sieht das so aus:$$\begin{vmatrix}x & 1 & 0\\0 & y & -1\\x & 1 & z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x & 1 & 0\\0 & y & -1\\0 & 0 & z\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot z$$Sobald du unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen hast, ist die Determinante einfach das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen.
Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist, wenn also \(x\), \(y\) und \(z\) ungleich \(0\) sind.
