Untersuchen sie die Reihe auf absolute Konvergenz

Question

Ich muss die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen:

Text erkannt:

(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n !}{n^{n}} \)

 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{2^n} \) * \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n! / n^n} \)

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{2^n} \)  ist ja eine geometrische Reihe. Da |2| > 1 ist sie nicht konvergent, oder?

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n! / n^n} \) ist nach dem Quotientenkriterium konvergent. (siehe https://www.mathelounge.de/399911/untersuchen-folgenden-reihen-konvergenz-absolute-konvergenz)

Ist diese Reihe insgesamt konvergent oder divergent?

Als Hinweis wurde gegeben:

Text erkannt:

(b) Es sei \( \left(a_{n}\right) \) eine reelle Folge mit \( a_{n} \neq 0 \) für \( n \in \mathbb{N} \). Weiter sei die Folge \( \left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)_{n=1}^{\infty} \) beschränkt. Dann kann man zeigen, dass die folgende Ungleichungskette gilt:
\( \liminf _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \leq \liminf _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \)
Z̈igen Sie uncer verwenduro von \( (\star) \), dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n !}}= \) e gilt.

Wie kann man ihn verwenden?

Comments

Bevor hier gleich jemand die Lösung posten, solltest Du die Zeit nutzen, um zu überlegen, dass Deinn Ansatz wesentlich falsch ist.

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Welcher Ansatz ist falsch?

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\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{2^n} \) * \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n! / n^n} \) ist ungleich die Reihe in der Aufgabenstellung oder?

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Genau, das ist der Punkt.

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{2^n\,n!}{n^n}$$

Zur Anwendung des Tipps sind mir zu viele Voraussetzungen zu zeigen, daher verwende ich hier das Quotientenkriterium und schätze wie folgt ab:

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{2^{n+1}\,(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^n\,n!}{n^n}}=\frac{\overbrace{2\cdot2^{n}}^{=2^{n+1}}\cdot\,\overbrace{n!\cdot(n+1)}^{=(n+1)!}}{\underbrace{(n+1)^{n}\cdot(n+1)}_{=(n+1)^{n+1}}}\cdot\frac{n^n}{2^n\cdot n!}=\frac{2n^n}{(n+1)^n}=2\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=2\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n=2\left(\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\right)^n=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac{2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac{2\cdot e^{-1}}{1-0}=\frac2e<1$$Damit ist das Quotientenkriterium erfüllt, sodass die Summe konvergiert.