Konvergenzradien Fakultät

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) k!/k^k

Problem/Ansatz:

Mit dem Quotientenkriterium komm ich auf (1+k)^k lim = |a_n+1| / |a_n|

(k+1)! * k^k / k! * (k+1)^k+1= (k+1)k! * k^k / k!(k+1)(k+1)^k= k^k / (k+1)^k =[ k/ (k+1)]^k = (1 + k)^k

Comments

Dem allerletzten Schritt kann ich nicht nachvollziehen.

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Habe durch k geteilt

Answer 1

im vorletzten Schritt hast du richtig k^k/(k+1)^k  daraus folgt 1/(1+1/k)^k und denn Nenner kennst du hoffentlich für k->oo

lul

Comments

Der Nenner konvergiert gegen 1

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Der Nenner geht gegen 2 und nicht 1, denn

\( \frac{1}{(1+1/n)^n} \) ≤ \( \frac{1}{1+ n/n} \) = 1/2

Also <1 und konvergiert.

So richtig ?

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Für k=1 bis unendlich

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Hallo

der Nenner ist kleiner als 2 das heisst aber der Bruch ist größer 1/2

eigentlich solltest du den GW des Nenners e kennen?

lul

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Ja habe im Skript gesehen aber was ist dann 1/e als Grenzwerte, wenn der neben gehen e geht ?

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1/e ist ein GW wie jeder andere? was bedeutet "wenn der neben gehen e geht"???

lul

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Nochmal zum Nenner: Es ist \((1+1/n)^n \geq 2\) und daher der Quotient \(|a_{n+1}/a_n| \leq 1/2< 1\). Das reicht für Konvergenz.

Unabhängig davon sollte man allerdings den Grenzwert kennen.

Gruß Mathhilf

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Wenn ich k=1 betrachte dann geht mein Nenner doch gegen e das e als lim von meinem Nenner definiert ist ?