Nach dem Newton-Verfahren berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie $\sqrt[3]{11}$ durch Bestimmung der Nullstelle der Funktion f(x) = $x^{3}$ − 11 nach dem Newtonschen Verfahren, ausgehend vom ersten Näherungswert x₀ = 2.

Problem/Ansatz:

Comments

Und was ist Dein Problem dabei?

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Ich weiss nicht wie ich das rechnen soll und bis zu welchem wert ?

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Wie rechnen: So.

Bis zu welchem Wert: Wenn es nicht vorgegeben wird, solange bis Du zufrieden bist, oder Dein Rechner nicht mehr genauer kann.

Answer 1

Newton-Verfahren:

        $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Beispiel

        $x_1 = x_{0+1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2-\frac{-3}{12} = \frac{9}{4}$

        $x_2 = x_{1+1} = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = \frac{9}{4} - \frac{f\left(\frac{9}{4}\right)}{f'\left(\frac{9}{4}\right)} = \dots$

Comments

$x_1 = x_{0+1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2-\frac{-3}{1} = 5$

$$f'(x)=3x^2; \quad f'(2)=3\cdot (2)^2 = 12 \implies x_1=\frac 94$$