Aufgabe:
Wir betrachten die Menge \( K=\{0,1, a, b\} \) und versehen diese mit den Verknüpfungen \( + \) und \( \cdot \), die durch die folgenden beiden Verknüpfungstafeln definiert sind:
| + | 0 | 1 | a | b |
| 0 | 0 | 1 | a | b |
| 1 | 1 | 0 | b | a |
| a | a | b | 0 | 1 |
| b | b | a | 1 | 0 |
Man kann zeigen (was Sie nicht tun müssen!), dass \( (K,+, \cdot) \) einen Körper bildet.
(a) Geben Sie die neutralen Elemente bezüglich \( + \) und \( \cdot \) an und bestimmen Sie \( -x \) für alle \( x \in K \) sowie \( x^{-1} \) für alle \( x \in K^{*} \).
(b) Wir betrachten die Funktion
\( f: K \rightarrow K, \quad x \mapsto x^{2}+x+1 \)
Berechnen Sie die Funktionswerte \( f(0), f(1), f(a) \) und \( f(b) \).
(c) Wir betrachten die Funktion
\( g: K \rightarrow K, \quad x \mapsto x^{2} \)
Zeigen Sie, dass \( g \) bijektiv ist und dass \( g(x \cdot y)=g(x) \cdot g(y) \) für alle \( x, y \in K \) gilt.
