Ist P eine Untergruppe von (R2; +

Question

Aufgabe:

(i) Gegeben sei die Parabel \( \mathcal{P}=\left\{(a, b) \in \mathbb{R}^{2} \mid b=a^{2}\right\} \subset \mathbb{R}^{2} \). Für zwei Punkte \( a=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}^{2}\right) \) und \( b=\left(\alpha_{2}, \alpha_{2}^{2}\right) \in \mathcal{P} \) definieren wir \( a \oplus b=\left(\alpha_{1}+\alpha_{2},\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)^{2}\right) \). Zeigen Sie, dass \( (\mathcal{P}, \oplus) \) eine Gruppe bildet.
(ii) Ist \( \mathcal{P} \) eine Untergruppe von \( \left(\mathbb{R}^{2},+\right) ? \)

Answer 1

Zu zeigen:

Abgeschlossenheit , Assoziativität , neztr. El. und zu jedem ein Inverses:

Abgeschlossenheit :

Seien Punkte \( a=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}^{2}\right) \) und \( b=\left(\alpha_{2}, \alpha_{2}^{2}\right) \in \mathcal{P} \)

==>   \( a \oplus b=\left(\alpha_{1}+\alpha_{2},\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)^{2}\right) \)

Das Ergebnis ist wieder vom Typ b=a^2, also in P.

Assoziativität :

Seien Punkte \( a=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}^{2}\right) \) und \( b=\left(\alpha_{2}, \alpha_{2}^{2}\right)  \)und \( c=\left(\alpha_{3}, \alpha_{3}^{2}\right) \in \mathcal{P} \)

==>     \( ( a \oplus b ) \oplus c = (\left(\alpha_{1}+\alpha_{2},\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)^{2}\right) )  \oplus c \)

\( = \left((\alpha_{1}+\alpha_{2})+\alpha_{3},(\left(\alpha_{1}+\alpha_{2})+\alpha_{3}\right)^{2}\right)  \)

Assoziativgesetz in R anwenden und dann rückwärts

\( = \left(\alpha_{1}+(\alpha_{2}+\alpha_{3}),\left(\alpha_{1}+(\alpha_{2}+\alpha_{3})\right)^{2}\right)  \)

...................... =   \( a  \oplus (b \oplus c ) \)

neutral ist ( 0,0) und invers zu ( x, x^2 ) ist ( -y ; y^2 ) .

Ist kein Unterraum von R^2 ; denn z.B. (2;4)+(2;4) gibt hier (4;16)

und nicht wie in R^2 das Paar (4;8).