bestimmen Sie das Verhalten von f für x~ plus/minus unendlich sowie die des Graphen von f mit den Koordinatenachsen …

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x^2(x-3). bestimmen Sie das Verhalten von f für x~> plus/minus unendlich sowie die des Graphen von f mit den Koordinatenachsen und sein Symmetrieverhaten. Skizzieren die damit den Graphen von f

Problem/Ansatz:

wie muss ich die Aufgabe machen?

Answer 1

Hallo,

ich würde die Klammer ausmultiplizieren:

\(f(x)=x^2\cdot(x-3)\\f(x)=x^3-3x^2\)

Betrachte den Summanden mit dem höchsten Exponenten. Das ist \( x^{3} \).

Da die Zahl vor x = 1 größer als 0 ist und der Exponent ungerade, gilt für das Globalverhalten der Funktion

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty ; \quad \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty \)

Da die Funktionsgleichung gerade und ungerade Exponenten aufweist, ist keine Symmetrie vorhanden. Gäbe es nur ungerade Exponenten, wäre die Funktion symmetrisch zum Ursprung, bei geraden Exponenten symmetrisch zur y-Achse.

Oder anders ausgedrückt:

Der Graph einer reellen Funktion ist

- achsensymmetrisch (bezüglich der y-Achse), wenn gilt: \( \mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}) \) für alle \( \mathrm{x} \in \mathbb{D}_{\mathrm{f}} \)
- punktsymmetrisch (bezüglich des Ursprungs), wenn gilt: \( \mathrm{f}(-\mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x}) \) für alle \( \mathrm{x} \in \mathrm{D}_{\mathrm{f}} \)

sowie die des Graphen von f mit den Koordinatenachsen

Fehlt hier das Wort Schnittpunkte?

Gruß, Silvia

Answer 2

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x^2(x-3). bestimmen Sie das Verhalten von f für x~> plus/minus unendlich sowie die des Graphen von f mit den Koordinatenachsen und sein Symmetrieverhalten. Skizzieren die damit den Graphen von f.

\( \lim\limits_{x\to\infty} \)x^2(x-3)→∞

f(-10)=(-10)^2(-10-3)=-1300

f(-100)=(-100)^2(-100-3)=-1.030.000

Verhalten x→ -∞→-∞

Schnitt mit der y-Achse:

f(0)=0^2*(0-3)=0

Schnitt mit der x-Achse:

x^2(x-3)=0

doppelte Nullstelle bei x=0

(x-3)=0

einfache Nullstelle bei x=3

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt. ( das stimmt bei allen Parabeln 3. Grades.)

f´´(x)=0
....

Wertetabelle für die Skizze.