Zeigen Sie, dass (G, o) eine abelsche Gruppe ist

Question

Aufgabe:

Sei

G:={\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) ∈ ℝ²: x²+y²=1}

Zeigen Sie, dass (G, ⊗) eine abelsche Gruppe ist.

Dabei ist

\( \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\coloneqq \begin{pmatrix}x_1x_2-x_2y_2\\x_1y_2+x_2y_1\end{pmatrix}\qquad \forall x,y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, dass eine abelsche Gruppe eine kommutative Gruppe ist.

Daher würde ich auf Vollständigkeit, Assoziativität, Neutrales Element, Inverse Elemente und Kommutativität untersuchen.

Leider habe ich nur gar keinen Ansatz, wie man das jetzt richtig "durchführt". Ich habe so etwas noch nie gemacht. Danke für Hilfe im voraus.

Answer 1

assoziativ geht z.B. so: Seien \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}\) Elemente von G. Mit Anwendung der Def. folgt

$$ (\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix})\otimes \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}$$

\(  =\begin{pmatrix}x_1x_2-x_2y_2\\x_1y_2+x_2y_1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix} \)

\(  =\begin{pmatrix}(x_1x_2-x_2y_2) \cdot (x_1y_2+x_2y_1) - (x_1y_2+x_2y_1) \cdot z_2\\(x_1x_2-x_2y_2) \cdot z_2+ (x_1y_2+x_2y_1) \cdot z_1 \end{pmatrix}  \)

Jetzt die Klammern anfangs anders setzen und zeigen:

Wenn man da die Def. anwendet,

gibt es das gleiche Ergebnis, dazu musst du allerdings noch was rechnen und

bedenken, dass ja für alle 3 Paare gilt x₁^2+x₂^2=1 etc.

Comments

Danke für die Starthilfe, so werde ich mich da jetzt durcharbeiten! :)

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Viel Erfolg ! Kannst ja notfalls noch mal nachfragen.