Berechnen Sie die folgende Aufgabe mit dieser Matrix.

Question

Aufgabe:

Vorgelegt sei die Matrix

Text erkannt:

\( A:=\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \)

a) Berechnen Sie die Determinante von A mithilfe des Gauß-Algorithmus.

b) Rechnen Sie für die Menge EigVal(A):={c ∈ R | Ker(A - cl₃ ) ≠ {0}} der Eigenwerte von A nach, dass EigVal(A) = {3,5}.

Problem/Ansatz:

Hallo! Ich muss folgende Mathe Aufgabe bekommen, aber habe Probleme Sie zu lösen. Ich hoffe es kann mir jemand helfen!

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte die Matrix

\(A-c\cdot I_3=\begin{pmatrix}4-c & 1 & -1 \\ 2 & 5-c & -2 \\ 1 & 1 & 2-c\end{pmatrix}\)

und bringe diese auf Zeilenstufenform. Damit hast du eine obere Dreicksmatrix \(M\). Damit kannst du die Determinante von \(M\) ganz einfach als Produkt seiner Diagonalelemente hinschreiben:

$$ \det(M)=m_{11}\cdot m_{22}\cdot m_{33}. $$

Für \(c=0\) löst du a). Für b) musst du \(\det(M)=0\) setzen und nach \(c\) auflösen.

Comments

Ich versuche es.

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Ich habe bei a) -c^3 + 11c^2 - 39c +45 bekommen. Ist das richtig?

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Ja, das stimmt.

Answer 2

Ich sag mal eine Dreiscksmatrix reicht auch, für beide Fälle

2 Gaußschritte (3. Spalte += 1.Spalte /\ 1 Zeile += 3 Zeile)

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}-c + 4&1&-1\\2&-c + 5&-2\\1&1&-c + 2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \right\}  \)

für c=0 ===> Determinante

c≠0 ===> Char.Polynom zerfällt in Faktoren

Comments

Dankeschön für deine Hilfe.

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Ich habe bei a) -c^3 + 11c^2 - 39c +45 bekommen. Ist das richtig?

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Das wollten wir vermeiden und die Polynomfaktoren direckt erhalten.

Wenn Du die 3 Matrizen ausmultiplizierst, dann erhältst DU

\(\small (A - c\; id) = \left(\begin{array}{rrr}-c + 3&0&0\\2&-c + 5&0\\1&1&-c + 3\\\end{array}\right)\)

also

|(A-c id) | = (3-c)(5-c)(3-c) = 0

und damit auch gleich die Eigenwerte {3,3,5}

Dein Polynom ist korrekt auch schwerer wieder zu zerlegen...

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Aber wenn ich diese Gleichunh -c^3 + 11c^2 - 39c +45 gleich null einsetze, bekomme ich trotzdem als Nullstellen 3 und 5.

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Ach alles gut. Ich habe es verstanden :"D

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Yep,

dann mußt Du aber eine Polynomdivision machen - viel Platz für Fehler..

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen