Beweis Satz des Pythagoras

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die vektorielle Formulierung des Satzes von Pythagoras.

Zwei Vektoren x,y ≠ 0 ∈ ℝ_n sind genau dann orthogonal, wenn für sie die folgende Gleichung gilt:

\(\lVert x+ y\rVert^2=\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2\)

Problem/Ansatz:

Ich weiß gerade nicht, wie ich da vorgehen sollte.

Answer 1

Hallo,

Ich weiß gerade nicht, wie ich da vorgehen sollte.

schreibe einfach mal ausführlich hin, was da steht. So ein Vektor \(x\) sieht so aus:$$x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ \vdots \end{pmatrix} \quad x \in \mathbb R^n\\$$und das Quadrat seines Betrags ist dann$$\lVert x\rVert^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dots = \sum\limits_{k=1}^n x_k^2$$Und das gleiche für die Summe von \(x+y\) ist folglich:$$\begin{aligned} \lVert x+ y\rVert^2 &= \sum\limits_{k=1}^n (x_k+y_k)^2 \\ &= \sum\limits_{k=1}^n x_k^2 + 2\underbrace{\sum\limits_{k=1}^n x_k y_k}_{= \left< x,\,y\right>} + \sum\limits_{k=1}^n y_k^2 \end{aligned}$$und wann genau ist dies identisch mit \(\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2\) ?

Comments

Wenn x_k und y_k = 0 sind, oder?

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Wenn x_k und y_k = 0 sind, oder?

Genau dies ist aber mit \(x,\,y \ne 0\) ausgeschlossen (s. Aufgabenstellung)! Es reicht doch aus, wenn \(\sum\limits_{k=1}^n x_k y_k=0\) ist. Und was ist das?

ich habe es Dir unter den Term geschrieben (s.o.).

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Ahh, das Skalarprodukt = 0, das zeigt ja auch Orthogonalität

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Ahh, das Skalarprodukt = 0, das zeigt ja auch Orthogonalität

So ist das !

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Vielen Dank!