Orthogonale Matrix bestimmen…

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix A= a

6	-8
c	6

(a ist der Vorfaktor, habe ich nicht in eine Zele bekomme)

für a,c∈ℝ. Für welche Werte a und c ist A orthogonal

Problem/Ansatz:

Also ich hab ehrlich kein Plan, damit auch kein Ansatz. Die Lösung (c=8 und a=0,1) habe ich. Aber ich weiß nicht wie man da hinkommt…. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Answer 1

Aloha :)

Damit die Matrix orghogonal ist, muss ihre Transonierte gleich der Inversen sein:

$$\mathbf 1\stackrel!=\mathbf A\cdot\mathbf A^T$$$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\stackrel!=a\begin{pmatrix}6 & -8\\c & 6\end{pmatrix}\cdot a\begin{pmatrix}6 & c\\-8 & 6\end{pmatrix}=a^2\begin{pmatrix}100 & 6c-48\\ 6c-48 & c^2+36\end{pmatrix}$$Wegen \(6c-48\stackrel!=0\) folgt \(c=8\). Dann ist \(c^2+36=100\). Auf der Haupdiagonalen stehen also \(100\)er und die Nebendiagonale hat nur Nullen. Der Faktor \(a^2\) muss also \(\frac{1}{100}\) sein, d.h. \(a=\pm\frac{1}{10}\).

Es gibt also zwei Lösungen:\(\quad a=\pm\frac{1}{10}\quad;\quad c=8\).