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Du hast eine Abbildungsmatrix \({_C}\Phi_B\), die Vektoren bezüglich der Basis \(B\) als Eingangsgrößen und Vektoren bezüglich der Basis \(C\) als Ausgangsgrößen hat:$${_C}\Phi_B=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2\\1 & 1 & 1\end{array}\right)$$
Zusätzlich weißt du, wie die Basisvektoren von \(B\) bezüglich der Standardbasis \(E\) aussehen und du weißt, wie die Basisvektoren von \(C\) bezüglich der Standardbasis \(F\) aussehen. Damit kannst du Basiswechsel-Matrizen von \(B\to E\) und von \(C\to F\) angeben:$${_E}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3\\\hline1 & -2 & 1\\0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 0\end{array}\right)\quad;\quad{_F}\mathbf{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}\vec c_1 & \vec c_2\\\hline-2 & 3\\1 & -2\end{array}\right)$$Wie du siehst, musst du einfach nur die neuen Basisvektoren als Spalten in die Basiswechsel-Matrix eintragen.
Die Abbildungsmatrix \({_C}\Phi_B\) sollst du so umrechnen, dass sie Eingangsvektoren bezüglich der Standardbasis \(E\) erwartet und Ausgangsvektoren bezüglich der Standardbasis \(F\) liefert:
$${_F}\Phi_E={_F}\mathbf{id}_C\cdot{_C}\Phi_B\cdot{_B}\mathbf{id}_E={_F}\mathbf{id}_C\cdot{_C}\Phi_B\cdot\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}$$$${_F}\Phi_E=\left(\begin{array}{rr}-2 & 3\\1 & -2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2\\1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 1\\0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 0\end{array}\right)^{-1}$$$${_F}\Phi_E=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 3 & -2\\0 & -3 & 1\end{array}\right)$$
