Stetigkeitsbeweis |f(x) - f(y)| ≤ C |x - y|^a

Question

Hallo, ich komme gerade bei einer Aufgabe einfach nicht weiter:

Sei D ∈ R. Sei f : D ∈ R eine Funktion. Nehmen Sie an, dass es Konstanten C, a ∈ R+ gibt derart, dass

|f(x) - f(y)| ≤ C |x - y|^a für alle x, y ∈ D gilt. Beweisen Sie, dass die Funktion f stetig ist.

Wahrscheinlich muss ich hier irgendwie auf das Epsilon-Delta-Kriterium kommen, oder? Also zeigen das gilt:
∀ y ∈ D : ∀ϵ > 0 : ∃δ > 0 : ∀ x ∈ D : |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ϵ.

Wie komme ich jetzt darauf, dass |x-y| nach oben beschränkt werden kann, mit einer Konstante, die nicht von x abhängt?

Comments

Nutze, dass \(x\mapsto C|x|^a\) stetig ist.

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Danke für den schnellen Tipp.

Kann ich dann Verwenden, dass \(x\mapsto C|x|^a\) das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt? Dann würde ja gelten:

|x - y| < δ ⇒ |C |x|^a - C |y|^a| < ϵ \(\Leftrightarrow\) C ||x|^a - |y|^a | < ϵ.

Wie komme ich jetzt von da weiter auf C |x - y|^a ? Mit der Dreiecksungleichung würde ja dann weiter C ||x|^a - |y|^a| \(\leq\) C |x^a - y^a| folgen, oder? Aber wie passt das dann mit dem Epsilon? Denke ich da gerade überhaupt in die richtige Richtung?

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Dich interessiert nur die Stetigkeit von \(C|x|^a\) an der Stelle 0,

d.h. zu \(\epsilon > 0\) gibt es \(\delta >0\), so dass

\(|z|\lt \delta\Rightarrow C|z|^a \lt \epsilon\).

Nun setze \(z=x-y\) ein ...

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Okay, wenn ich dann \(z=x-y\) setze, dann erhalte ich \(C|x - y|^a \lt \epsilon\) und da \(|f(x) - f(y)| ≤ C |x - y|^a \) gilt, folgt dann auch \(|f(x) - f(y)| < \epsilon \) ?

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Warum sollte es nicht folgen ? ;-)

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sorry, das Fragezeichen war eher als Frage, ob das jetzt alles so passt gemeint und nicht, ob diese eine Schlussfolgerung gilt :)

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Ja, so passt alles gut zusammen.

Answer 1

Hallo,

sei \( y \in D \) und \( \varepsilon > 0 \). Setze \( \delta =\sqrt[a]{\frac{\varepsilon}{C}} > 0.\) Dann gilt für alle  \( x \in D\) mit \( |x - y| < \delta \)

\( |f(x) - f(y)| \leq C \cdot |x - y|^{a} < C \cdot \delta^{a} = \varepsilon\)