Unbestimmtes Integral: Wie substituiere ich komplexe Terme?

Question

Aufgabe:

Lösen Sie folgende Aufgabe mit Substitution:

\( \int \frac{1}{(2+x) \sqrt{1+x}} d x \)

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht folgendes zu substituieren: u=1+x . Mit dem komme ich nicht auf die richtige Lösung. Was müsste ich hier substituieren, dass ich auf das richtige Resultat komme? Wie löst man diese Aufgabe sonst mit der Partielle Integration?

Comments

mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Bei mir sieht das wie folgt aus:

Comments

Super, danke vielmals. Dann muss man das x im Term mit du auch ersetzen.

Könnte man dieses Beispiel auch mit der Partielle Integration lösen? Wenn ja, wie würde dies gehen?

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Könnte man dieses Beispiel auch mit der Partielle Integration lösen? Wenn ja, wie würde dies gehen?

Die Partielle Integration nimmst du meist bei Produkten wobei ein Faktor durchs Ableiten einfacher wird und der andere Faktor durchs integrieren nicht schwieriger.

Hier würde man keine partielle Integration nehmen.

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Das heisst theoretisch würde es schon gehen. Es ist jedoch so, dass in diesem Beispiel die Rechnung nicht vereinfacht werden kann, sondern sie wird sogar schwieriger. Habe ich das korrekt verstanden?

Answer 2

substituiere: u=√(1+x) also  x = u^2 - 1 

und aus dem Nenner wird (2+u^2 - 1) = 1+u^2

und für 1 / ( 1+u^2) ist arctan(u) eine Stammfunktion.

Insgesamt also 2*arctan( √(1+x) ).

Comments

Guten Tag mathef

Danke vielmals für die schnelle Antwort.

Wie kommt man auf x = u²-1?

Mein Rechnungsweg sieht so aus:

Text erkannt:

\( \int \frac{1}{(2+x) \sqrt{1+x}} \cdot d x \)
\( u=\sqrt{1+x} \)
\( u^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}=\frac{\ln }{d x}=d x=\frac{d u}{1} \cdot \frac{2 \sqrt{x+1}}{1} \)
\( \int \frac{1}{(2+x) u} 2 \sqrt{x+1} \cdot d u \)

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u=\( \sqrt{1+x} \)  also x = u^2 - 1

"Wie kommt man auf x = \( u^{2} \) -1?"

u=\( \sqrt{1+x} \) |\( ^{2} \)

 \( u^{2} \) =1+x |-1

\( u^{2} \)-1=x