Bestimmen sie den Grenzwert der Folge, die auf Fibonacci-Folge basiert

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert von

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}$$

, die auf der Fibonacci-Folge basiert. Sie dürfen annehmen, dass die Folge konvergiert.

Problem/Ansatz:

Weiß nicht so genau, wie ich hier weiterkommen kann. Habe versucht f_n+1 zu ersetzen mit f_n + f_n-1 und dann fn auszuklammern, aber auch da komme ich nicht wirklich weiter.

Answer 1

Bezeichne den gesuchten Grenzwert mit \(g\). Dann gilt \(g>0\) und$$g=\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+2}}{f_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}+f_n}{f_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{f_n}{f_{n+1}}\right)=1+\lim_{n\to\infty}\frac{f_n}{f_{n+1}}=1+\frac1g.$$
Daraus bestimme \(g\).

Comments

Also ist

$$ g_1 = \frac{1}{2} +\sqrt{(\frac{1}{2})^2 +1} $$
$$ g_2 = \frac{1}{2} -\sqrt{(\frac{1}{2})^2 +1} $$

wobei g₂ nicht erlaubt ist, da < 0.

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So ist es\(\).