Bestimme die Höchstgeschwindigkeit in m/s und km/h!

Question

Aufgabe:

Im Allgemeinen ist die Beschleunigung eines Autos nicht konstant. Bei höheren Geschwindigkeiten nimmt sie ab und wird schließlich 0 (bei Erreichen der Höchstgeschwindigkeit). Angenommen, ein Auto beschleunigt aus dem Stand (s(0)=0, v(0)=0), wobei seine Beschleunigung t Sekunden nach dem Start annähernd durch a(t) = 3,2 - 0,16t + 0,002t² (m/s²) gegeben ist und diese Formel bis zu dem Zeitpunkt gilt, für den a(t) = 0 ist.

1. Wie lange beschleunigt das Auto?

2. Gib eine Formel für die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t an!

3. Bestimme die Höchstgeschwindigkeit in m/s und km/h!

4. Wie lang ist der Weg, den das Auto bis zum Zeitpunkt t zurücklegt?

5. Wie lang ist der Weg bis zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit?

Problem/Ansatz:

Zu 2. lautet die Formel v(t) = 3-2t -0,08² + 0,002/3t³.

Der Rest ist mir leider ein Rätsel. Bitte um Hilfe und Erklärungen.

Answer 1

1.        3,2 - 0,16t + 0,002t² =0

 <=>  1600 - 80t + t^2 = 0

mit pq-Formel gibt das t=40

Also beschleunigt es 40s lang.

Zu 2. Ist deine Formel v(t) = 3-2t -0,08² + 0,002/3t³ 

nicht ganz richtig. bzw. vertippt, es soll wohl heißen

v(t) = 3,2t -0,08t² + 0,002/3t³  . Dann passt es.

3. Setze v'(t)=0 also wie bei 1. gibt das t=40s

Also nach 40s ist die Höchstgeschw. erreicht.

Das passt auch, da ja die ganze Zeit beschleinigt

wird. Es ist also v(40) die Höchstgeschwindigkeit.

v(40)=128/3 m/s = 153,6 km/h.

4./5. Der Weg nach x Sekunden ist \(  \int \limits_{0}^{x}  v(t) dt=\frac{x^4}{6000}-\frac{2x^3}{75}+\frac{8x^2}{5}   \)

also nach 40s sind es dann 1280m.

Answer 2

1. Wie lange beschleunigt das Auto?

Gesucht ist die Nullstelle der Funktion a

2. Gib eine Formel für die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t an!

Die Geschwindigkeit v(t) ist das Integral der Funktion a:

v(t)=0.00067·t - 0.08·t³ + 3.2·t² +C. Hier ist C noch zu bestimmen.

Answer 3

2. v(t) ist das Integral von a(t), da a(t) die Ableitung von v(t) ist.