Hallo Fatima, hallo Luisa,
also ich bin wahrlich nicht der Experte für Stochastik, aber wenn man schon meinen Kommentar zur 'Antwort' macht, dann sollte diese auch vollständig sein. Im Aufgabentext steht
Ein fairer Würfel und ein fairer Oktaeder werden geworfen.
ich unterstelle, dass sie immer(!) gemeinsam geworfen werden. Das heißt, ein Wurf (dieser liefert hier das Ergebnis) ist immer das gemeinsame Werfen beider Würfel und beide Würfel zeigen nach dem Wurf eine Augenzahl \(w\) an. Beim 6'er-Würfel sei die Augenzahl \(w_w\) und beim Oktaeder \(w_o\). Nun gilt offensichtlich, das \(w_w\) eine Zahl von 1 bis 6 und \(w_o\) eine Zahl von 1 bis 8 sein kann. Bzw. in mathematisch:$$w_w = \in\{1,2,3,4,5,6\} \\ w_o = \in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$ Und jede Zahl ist pro Würfel gleich wahrscheinlich, weil die Würfel 'fair' sind.
Ein Ergebnis eines Wurfes ist nun die Kombination beider Zahlen. Das kann sein \((2,7)\) - d.h. der 6'er-Würfel zeigt eine 2 und der Oktaeder ein 7 an, oder \((6,1)\) oder \((2,2)\) oder \((6,8)\). Und die Menge aller möglichen Ergebnisse ist \(\Omega\)$$\Omega = \{(w_w,w_o):\space w_w \in\{1,2,\dots,6\},\space w_o=\{1,2,\dots,8\}\}$$Und weil es 6 mal 8 Kombinationen gibt, hat \(\Omega\) genau \(6\cdot8=48\) Elemente. Man sagt, die Mächtigkeit der Menge \(\Omega\) ist \(48\)$$|\Omega| = 48$$
Das \(F\) ist wohl das, was im Allgemeinen mit \(\Sigma\) bezeichnet wird. Das sollte - wenn ich die Literatur richtig interpretiert habe - hier immer die Potenzmenge von \(\Omega\) sein. Eine Potenzmenge ist die Menge aller möglichen Untermengen einer Menge. Man schreibt$$F= \mathcal P(\Omega)$$Bem.: dieses \(\mathcal P\) steht für die Potenzmenge und hat mit dem \(P\) aus \((\Omega,F,P)\) nichts zu tun.
Ein Beispiel für ein Element von \(F\) alias \(\Sigma\) ist $$E_2= \{(1,2),\,(2,1),\,(2,2)\}$$\(E_2\) ist ein Element von \(F\) und ist selbst eine Menge, die alle möglichen Ergebnisse enthält, bei denen die maximale Augenzahl gleich 2 ist. man sieht hier auch, dass \(|E_2|=3\) ist, da die Menge \(E_2\) 3 Elemente enthält.
Das \(P\) in \((\Omega,F,P)\) ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß welches einem Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Jedes Ergebnis eines Ereignisses aus \(\Omega\) ist ein Elementarereignis, und da hier alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt$$P(\omega) = \frac 1{|\Omega|} = \frac 1{48} \quad \omega \in \Omega$$ich meine, das ist für die Beschreibung von \(P\) ausreichend.
So kann man z.B. berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die maximale Augenzahl eine 2 ist. Es gilt nämlich$$P(E_2) = \frac{|E_2|}{|\Omega|} = \frac{3}{48} = \frac 1{16}$$und dann sind wir auch gleich bei der Zufallsvariablen \(X\)
definieren Sie X als Abbildung von Ω nach N
und es soll sein:
Die Zufallsvariable X gebe das Maximum der Augenzahlen an.
D.h. es soll jedem Element aus \(\Omega\) eine Zahl zugeordnet werden. Diese Zahl ist schlicht das Maximum der beiden angezeigten Augenzahlen. In mathematisch$$X: \space X((w_w,w_o)) = \max(w_w,w_o)$$
... und geben Sie den Bildraum von X an
Mit Bildraum ist die Menge aller Werte gemeint, die \(X\) annehmen kann. Und das können natürlich nur die Augenzahlen der Würfel sein$$\operatorname{Bild}(X) = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$
(ii) Berechnen Sie die Verteilung von X.
Die Verteilung sind die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für jeweils einen Wert von \(X\). Dazu betrachte man diese Tabelle$$\begin{array}{c|}& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\\hline 1& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 2& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 3& 3& 3& 4& 5& 6\\ 4& 4& 4& 4& 4& 5& 6\\ 5& 5& 5& 5& 5& 5& 6\\ 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 7& 7& 7& 7& 7& 7& 7\\ 8& 8& 8& 8& 8& 8& 8\end{array}$$hier findet man jeweils das Maximum der Augenzahlen für jedes Ergebnis eines Wurfes. Die Wahrscheinlichkeit \(P(E_2) = P(X=2)\) hatten wir ja oben bereits bestimmt. Hier gilt allgemein$$P(X) = \begin{cases} \frac1{48}(2X-1) &X \le6\\ \frac 18& X \gt 6\end{cases}$$Falls das unklar ist, so frage bitte nach. Zur Kontrolle rechne man nochmal \(P({\Omega})\) aus. Es muss gelten \(P(\Omega)=1\)$$P(\Omega) = \sum P(X_k) =\frac1{48} \sum_{k=1}^{6}(2k-1) + 2\cdot \frac 18\\ \phantom{P(\Omega)}= \frac2{48} \sum_{k=1}^{6} k - \frac6{48} + \frac28 = \frac{2\cdot 21}{48} - \frac6{48} + \frac{12}{48} = 1\space \checkmark$$
(iii) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert größer als fünf annimmt.
Dazu zählt man entweder alle Einträge in der Tabelle, bei denen der Wert \(\gt 5\) ist oder man rechnet es aus:$$P(X >5) = P(6) + P(7) + P(8) = \frac 1{48}(2\cdot 6 -1) + \frac18 + \frac18 = \frac{11}{48} + \frac{12}{48} = \frac{23}{48}$$
Gruß Werner
