Was wären hier die besten Umformungsschritte um die Form 0/0 zu erhalten?

Question

Aufgabe:

Grenzwert mit Regel von L'Hopital bestimmen

Problem/Ansatz:

Ich habe den Ausdruck $$ \lim\limits_{x\to0} \left(\frac{1}{\sin^2(2x)} - \frac{1}{2\sin^2(x)}\right) $$ gegeben. Normalerweise kommt bei x->0 (1/0 - 1/0) raus, allerdings brauch ich für die Anwendung der Regel die Form 0/0. Was wären hier die besten Umformungsschritte um die Form 0/0 zu erhalten?

Comments

Ich fürchte, hier hilft die Regel von L'Hospital nicht weiter, weil der Grenzwert nicht exisitert:

Aber auch diese Erkenntnis ist doch ein Ergebnis der Anwendung von L'Hospital...

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich fürchte, hier hilft die Regel von L'Hospital nicht weiter, weil der Grenzwert nicht exisitert:$$\frac{1}{\sin^2(2x)}-\frac{1}{2\sin^2(x)}=\frac{1}{1-\cos^2(2x)}-\frac{1}{1-\cos(2x)}$$$$\qquad=\underbrace{\frac{1}{1-\cos(2x)}}_{\to+\infty}\,\underbrace{\left(\frac{1}{1+\cos(2x)}-1\right)}_{\to-\frac12}\to-\infty$$

~plot~ 1/sin(2x)^2-1/(2*sin(x)^2) ; [[-3|3,5|-10|10]] ~plot~

Comments

danke für die schnelle Antwort!

(2·SIN(x)2 - SIN(2·x)2) / (2·SIN(2·x)2·SIN(x)2)

Ableiten und für x die 0 einsetzen funktioniert hier also nicht? Da ich dort 1/3 raus bekomme.

Answer 2

Mache die beiden Brüche gleichnamig, bevor du sie subtrahierst.

Ich hoffe, dass der dafür notwendige Zwischenschritt sin(2x) =2 sin(x) cos(x) bekannt ist.

Answer 3

1 / SIN(2·x)^2 - 1 / (2·SIN(x)^2)

2·SIN(x)^2 / (2·SIN(2·x)^2·SIN(x)^2) - SIN(2·x)^2 / (2·SIN(2·x)^2·SIN(x)^2)

(2·SIN(x)^2 - SIN(2·x)^2) / (2·SIN(2·x)^2·SIN(x)^2)

Comments

Danke für die schnelle Antwort, ist das eine allgemeine Regel, dass man so umstellen darf?

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Ja. Es gilt bei Addition/Subrtraktion von zwei Brüchen immer

$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$

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(2·SIN(x)^2 - SIN(2·x)^2) / (2·SIN(2·x)^2·SIN(x)^2)

L'Hospital

(4·SIN(x)·COS(x) - 2·SIN(4·x)) / (4·SIN(x)^2·SIN(4·x) + 4·SIN(x)·COS(x)·SIN(2·x)^2)

L'/Hospital

(- 8·COS(4·x) + 8·COS(x)^2 - 4) / (COS(4·x)·(20·SIN(x)^2 - 2) + 16·SIN(x)·COS(x)·SIN(4·x) + 4·COS(x)^2 - 2)

= -4 / 0+

--> - ∞

Die Schwierigkeit besteht hier nur darin, dass die Terme beim Ableiten unhandlich werden nicht im eigentlichen Verfahren nach L'Hospital. Man muss aber L'Hospital zweimal anwenden. Das darf mal allerdings.

Ein Vereinfachen der Terme kann dem natürlich vorbeugen.

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Gut, da weiß ich Bescheid, vielen Dank für die ausführliche Antwort!