Bilden die Vektoren v1, v2 eine Basis von R?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind 2 Vektoren v1 , v2.

v1 = (1,1)

v2= (-1,1)

a) Bilden die Vektoren v1, v2 eine Basis von R ?

b) Sind die Vektoren v1, v2 orthogonal zueinander?

c) Geben Sie den Vektor u (3,4)  als Linearkombination der Vektoren v1, v2 an.

Problem/Ansatz:

a) Woher weiss ich wieso diese beiden eine Basis von R bilden?

b) Wieso sind sie nicht orthogonal zueinander obwohl das Skalarprodukt 0 ergibt??

1 * 1 = 1

1 * (-1) = -1

1 -1 = 0?

c) Wie gehe ich hier allgemein vor?

Besten Dank für jede Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die beiden Vektoren bilden eine Basis des \(\mathbb R^2\), wenn sie linear unabhängig sind. Bei 2 Vektoren bedeutet linear unabhängig, dass sie nicht parallel oder antiparallel zueinander sind. Wie wir in (b) sehen werden, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, sind also linear unabhängig und bilden daher eine Basis der \(\mathbb R^2\).

zu b) Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist \(=0\), d.h. sie stehen orthogonal zueinander:$$\binom{1}{1}\binom{-1}{1}=-1+1=0$$

zu c) Da die beiden Vektoren eine Basis des \(\mathbb R^2\) bilden, müssen wir jeden 2-dim. Vektor durch sie ausdrücken können:$$\binom{3}{4}=\frac72\cdot\binom{1}{1}+\frac12\cdot\binom{-1}{1}$$

Comments

b) In der Lösung steht leider, dass sie nicht orthogonal zueinander stehen.

c) wie bist du auf 7/2 und 1/2 gekommen?

Die Lösung meint es wären 5/2(1,1) und 1/2(1,3)?

Danke dir!!

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Hast du dich vertippt?

In der Aufgabe stehen die beiden Vektoren \(\binom{1}{1}\) und \(\binom{-1}{1}\). Diese stehen orthogonal zueinander.

In deinem Kommentar baust du die Linearkombination aber aus den Vektoren \(\binom{1}{1}\) und \(\binom{1}{3}\). Die beiden letzteren stehen nicht orthogonal zueinander.

Wenn du dich nicht vertippt hast, ist auch diese Musterlösung falsch (wie die völlig falsche Musterlösung bei der Aufgabe mit der Ebene.)

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Die Musterlösung war tatsächlich falsch, deine Lösung stimmt.

Jedoch verstehe ich leider noch nicht wie du auf die Werte 7/2 und 1/2 kommst.

Habe es versucht mit:

(3,4) = a *v1 + b*v2

3 = a-b

4= a+b

aber weiter komme ich leider nicht...

Danke dir!

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Addierst du beide Gleichungen für \(a\) und \(b\), erhältst du:$$7=2a\implies a=\frac72$$Setzt du das in eine der beiden Gleichungen ein, folgt:$$b=a-3=\frac72-3=\frac12$$

Answer 2

Zu a) ja die Vektoren v1 und v2 bilden eine Basis bezüglich R²  da die Anzahl der Vektoren mit der Dimension von R² = 2 übereinstimmt und die Vektoren linear unabhängig sind, da sie keine Vielfachen voneinander sind bzw sie sich nicht als linear Kombination des anderen Vektors darstellen lassen.