Schaubild einer Funktion, Extremstellen

Question

Aufgabe:

Die Aussagen lauten:

Die Funktion f(x) hat …

… auf dem Intervall (1.5,2.5) eine Extremstelle

… auf dem Intervall (2,4) eine Extremstelle

… auf dem Intervall (–1,0) keine Extremstelle

… auf dem Intervall (-1,4) zwei Extremstellen

Problem/Ansatz:

Ich weiss dass bei der f ‘(x) die Nullstellen bei f(x) dann eine Extremstellen sind oder?  Wieso sist dann die letzte Aussage nicht richtig obwohl es zwei Nullstellen hat?

Danke für die Hilfe!

Answer 1

f´(x)=a*x^2*(x-3)

P(2|2)

f´(x)=4a*(2-3)=-4a       -4a=2      a=-0,5  

f´(x)=-0,5  *x^2*(x-3)=-0,5x^3+1,5x^2

f(x)=\( \int\limits_{}^{} \)(-0,5x^3+1,5x^2)*dx=-0,125x^4+0,5x^3+C

rote Aussagen sind falsch  grüne Aussagen sind richtig

… auf dem Intervall (1.5,2.5) eine Extremstelle

… auf dem Intervall (2,4) eine Extremstelle

… auf dem Intervall (–1,0) keine Extremstelle

… auf dem Intervall (-1,4) zwei Extremstellen

"Ich weiß, dass bei der f‘(x) die Nullstellen bei f(x) dann eine Extremstellen sind oder?"

Bei N(3|0) liegt eine einfache Nullstelle vor , darum Extremwert bei f(x)

"Wieso ist dann die letzte Aussage nicht richtig obwohl es zwei Nullstellen hat?"

Bei N(0|0) ist eine doppelte Nullstelle, darum ist bei f(x) dort ein Sattelpunkt und keine Extremstelle.

Zur Verdeutlichung beide Funktionen im Bild:

Answer 2

f '(x) berührt bei x =0 die x-Achse, d.h. die f '(x) hat dort ein Extremum -> x=0 ist eine Wendestelle von f(x), weil

f ''(x) an dieser Stelle Null ist.