Gegenbeispiele mit Zahlen einsetzen kann man ja eigentlich nur machen, wenn man schon im vorhinein erkannt hat, dass es eine dieser Eigenschaften nicht ist :/
Genau, das ist hier aber sehr leicht. \(x^2+y^2=r^2\) ist die Kreisgleichung, das gehört zum Vokabular jeder Person, die sie mich mit Mathematik beschäftigt. Keine Funktion. Das erkennt man z. B. daran, dass einem \(x\)-Wert zwei \(y\)-Werte zugeordnet werden müssten. (Das spricht gegen die Rechtseindeutigkeit)
Ich habe \(2\) gewählt, weil mir danach war. Du kannst jede Zahl \(x>\sqrt{2}\) wählen, weil für \(x=\sqrt{2}\) das Quadrat \(x^2=2\) ist und man dann gerade noch so auf \(y=0\) ausweichen kann, um \(x^2+y^2=2\) zu erfüllen. Alle \(x>\sqrt{2}\) wären also in Frage gekommen, weil man dann keine Wahl mehr für \(y\) hat.
Für das Beispiel \(R=\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} : y=x^2+1\}\) sieht man, dass es eine Funktion ist, nämlich die Normalparabel um \(+1\) nach oben verschoben entlang der \(y\)-Achse.
Um die Rechtseindeutigkeit und Linkstotalität zu beweisen, musst du hier allgemein vorgehen.
Also zeigen, dass es für alle \(x\in \mathbb{R}\) (mindestens) ein \(y\in \mathbb{R}\) gibt, so dass \((x,y)\in \mathbb{R}\).
Wie findet man zu gegebenem \(x\) ein \(y\)? Umstellen!
\(y=x^2+1 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{y+1}\)
Hier ist es tatsächlich nicht schlimm, dass du zwei Werte erhältst, weil es hier um die Linkstotalität und nicht um Eindeutigkeit geht. Man kann ja schließlich bei einer Funktion mehrere Male den gleichen Funktionswert haben, insofern die Eingabewerte unterschiedlich sind - man denke an Nullstellen!
Rechtseindeutigkeit zeigst du so:
Du willst zeigen, dass für alle \(x\in \mathbb{R}\) und für alle \(y,z\in \mathbb{R}\) gilt, dass wenn sowohl \((x,y)\in R\) als auch \((x,z)\in R\), dass sodann \(y=z\) gilt.
Also, angenommen \((x,y)\in R\) - was heißt das? Na klar, dass \(y=x^2+1\) und analog \((x,z)\in R\), wenn \(z=x^2+1\). Also?
