Minimum und Maximum ohne Rechnung

Question

Kann mir jemand schnell auf die Sprünge helfen, wie man ohne Rechnung begründen kann, dass die Funktion f(x)=e^-x (x²-x+1) in dem Intervall von 0-4 ein Minimum und ein Maximum hat? Ich habe bisher nur, dass es an der Verknüpfung zweier Funktionen liegt.

Answer 1

Aloha :)

Die erste Ableitung von$$f(x)=e^{-x}(x^2-x+1)$$erhalten wir mit der Produktregel:$$f'(x)=-e^{-x}(x^2-x+1)+e^{-x}(2x-1)=-e^{-x}(x^2-3x+2)=e^{-x}(x-2)(x-1)$$Da die \(e\)-Funktion immer positiv ist, finden wir zwei mögliche Nullstellen der ersten Ableitung, bei \(x=1\) und bei \(x=2\). Das sind zwei Kandidaten für Extrema.

Wir prüfen die Kandidaten, mit der zweiten Ableitung:$$f''(x)=-e^{-x}(x-2)(x-1)+e^{-x}(x-1)+e^{-x}(x-2)$$$$f''(1)=\frac1e>0\implies\text{Minimum bei }x=1$$$$f''(2)=-\frac{1}{e^2}<0\implies\text{Maximum bei }x=2$$

Answer 2

"dass es an der Verknüpfung zweier Funktionen liegt."

Der erste Faktor ist in diesem Intervall monoton fallend und positiv. Was weisst du über den zweiten Faktor (ohne Rechnung) ?

Comments

Ich weiß, dass es eine nach oben geöffnete Parabel ist und dementsprechend nur positive y-Werte möglich sind. So würde man dann wahrscheinlich auf das Minimum kommen, oder?

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Deinen Kommentar kann der folgende Plot bestätigen: ~plot~ (x^2-x+1)*e^(-x); e^(-x); x^2 - x + 1 ~plot~

Sicher, dass du gar nichts rechnen darfst?

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Zumindest steht das ohne Rechnung extra in kursiv geschrieben...

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Ich müsste (zumindest in Gedanken) die erste Ableitung ausrechnen (Produktregel) . Vorzeichen der ersten Ableitung müsste sich im angegebenen Intervall zwei mal ändern. Oder?

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Ja, genau.

Reicht das wohl als Begründung?

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Hmmh, jede stetige Funktion hat auf einem endlichen abgeschlossenen Intervall ein Max und ein Min!?

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Guter Kommentar (und vielleicht die erwartete Antwort ! ) von Mathhilf . Wenn denn das Intervall auch abgeschlossen ist. (endlich ist ersichtlich).

Answer 3

Zeige, dass die erste Ableitung in diesem Intervall zwei Nullstellen haben muss.