Aloha :)
Die beiden Variablen \(X\) und \(Y\) sind unabhängig und Poisson-verteilt:$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}\quad;\quad P(Y=k)=\frac{\mu^k}{k!}\,e^{-\mu}\quad;\quad k\in\mathbb N_0\quad;\quad \lambda,\mu\in\mathbb R^+$$Die Wahrscheinlichkeitsveteilung der Zufallsvariablen \(Z\coloneqq X+Y\) ist dann:$$P(Z=z)=\sum\limits_{k=0}^zP(X=k\,\land\,Y=z-k)=\sum\limits_{k=0}^zP(X=k)\cdot P(Y=z-k)$$In der ersten Summe gehen wir alle Kombinationen von \(X\) und \(Y\) durch, deren summe gleich \(Z\) ist. Wegen der Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen können wir das in der zweiten Summe als Produkt schreiben.$$\phantom{P(Z=z)}=\sum\limits_{k=0}^z\frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}\cdot\frac{\mu^{z-k}}{(z-k)!}\,e^{-\mu}=e^{-\lambda}\,e^{-\mu}\sum\limits_{k=0}^z\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac{\mu^{z-k}}{(z-k)!}$$$$\phantom{P(Z=z)}=e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{k=0}^z\frac{1}{k!\cdot(z-k)!}\cdot\lambda^k\cdot\mu^{z-k}=\frac{1}{z!}e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{k=0}^z\frac{z!}{k!\cdot(z-k)!}\cdot\lambda^k\,\mu^{z-k}$$Beachte, dass wir bei der letzten Summe in den Zähler ein \(z!\) geschrieben haben und dies durch den Faktor \(\frac{1}{z!}\) vor der Summe kompensiert haben. Die Idee dahinter ist, den Bruch mit den Fakultäten als Binomialkoeffizient zu schreiben, um abschließend den binomischen Lehrsatz anwenden zu können.$$\phantom{P(Z=z)}=\frac{1}{z!}e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{k=0}^z\binom{z}{k}\lambda^k\,\mu^{z-k}=\frac{1}{z!}e^{-(\lambda+\mu)}(\lambda+\mu)^z=\frac{(\lambda+\mu)^z}{z!}\,e^{-(\lambda+\mu)}$$Die Summe \(Z=X+Y\) ist also Poisson-verteilt mit dem Parameter \((\lambda+\mu)\quad\checkmark\)
Teil b) ist nun einfach. Der Erwartungswert der Verletzungen \(V\) durch Pferde in Österreich und Deutschland zusammen ist gleich \(9\). Daher gilt:$$p(V\le3)=\sum\limits_{k=0}^3\frac{9^k}{k!}\,e^{-9}=\frac{1}{e^9}\left(\frac{9^0}{0!}+\frac{9^1}{1!}+\frac{9^2}{2!}+\frac{9^3}{3!}\right)=\frac{172}{e^9}\approx2,12\%$$
