Fixpunkt / stetige Funktionen

Question

Aufgabe:

(i) Jede stetige Funktion \( f:(0,1) \rightarrow(0,1) \) besitzt einen Fixpunkt.

(ii) Jede stetige Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) besitzt einen Fixpunkt.

(iii) Jede stetige Funktion \( f:[0,1] \rightarrow[0,1] \) besitzt einen Fixpunkt.

(iv) Jede Funktion \( f:[0,1] \rightarrow[0,1] \) besitzt einen Fixpunkt.

(v) Es gibt eine stetige Funktion \( f:[0,1] \rightarrow[0,1] \) mit \( f(0)=1 \) und \( f(1)=0 \), die genau zwei Fixpunkte besitzt.

Problem/Ansatz:

Comments

Ich nehme mal an, man soll diese Aussagen überprüfen
und im Falle des Zutreffens beweisen (begründen) und im
Falle des Nivhtzutreffens durch ein Gegenbeispiel widerlegen.

Warum knallst du uns diese Aussagen nur so hin:
ohne eine Fragestellung und vermutlich auch ohne
eine gewisse Denkarbeit zu investieren?

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Die Fragestellung ist:

Es sei M eine beliebige Menge und f : M → M eine Abbildung. Ein Punkt m ∈ M heißt ein Fixpunkt
von f, falls f(m) = m ist. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

ich bin anscheinend im selben Mathekurs XD

Answer 1

Vermutlich ist nur (iii) richtig.