Welcher dieser Schlüsse ist korrekt? (Modulo)

Question

 Betrachten Sie die quadratische Gleichung \( x^{2} \equiv 1 \bmod 15 \).Jemand behauptet diese Gleichung kann höchstens zwei Lösungen haben: \( x^{2} \equiv 1 \) mod 15 \( \Longrightarrow(x-1)(x+1) \equiv 0 \bmod 15 \Longrightarrow x \equiv 1 \bmod 15 \) oder \( x \equiv-1 \bmod 15 \). Welcher dieser Schlüsse ist korrekt? Welcher falsch? Was geht schief in der Argumentation?

Comments

Was passiert bei x = 4?

Answer 1

Hallo,

gesucht sind ja die Lösungen von

(x-1)(x+1)=15z , wobei z eine ganze Zahl ist.

x² = 15z + 1

4²=15+1

11²=121=15*8+1

Also sind zusätzlich zu 1 und -1 (bzw. 14) auch noch 4 und 11 Lösungen.