Fibonacci-folge A^m+n = A^m A^n

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Fibonaccifolge. (fn)n∈ℕ₀ ist rekursiv definiert durch

f₀ := 0, f₁ :=1 und f_n+1 := f_n+1 + f_n
für n ∈ ℕ_0.

Ferner sind für m × m-Matrizen A über einem kommutativen Ring die Potenzen A^k (k ∈ ℕ₀) rekursiv definiert durch A⁰ := I_m und A^k+1 := A^k A für k ∈ ℕ₀

Frage: Begründe, warum  A^m+n  = A^m Aⁿ    Für alle m,n ∈ ℕ₀ gilt.

(In der Aufgabe davor wurde A:= \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) ∈ℝ^2x2    

gilt Aⁿ :=  ^{\( \begin{pmatrix}  f}_n+1^{& f}_n ^{\\ f}_n ^{& f}_n+1-n^{\end{pmatrix} \) )}

Problem/Ansatz:

Hallo, ich bin mir unsicher wie ich diese Aufgabe angehen soll.

Betrachte ich dies wie die potenzmultiplikation? Habe zu dem gelesen, dass diese Relation A^m+n = A^m Aⁿ die summationsvorschrift von Fibonacci-Folgen mit f_m+n  . A

Wie kann ich, dass verstehen?

Comments

"über einem kommutativen Ring" .

Diesen Teil im Satz kannst du beim Lesen erst mal weglassen. Danach aber wieder einbauen!

So weit bist du wohl schon. Oder?

Wenn a eine natürliche Zahl wäre, so kann rekursiv definiert werden: a^0. = 1 und a^(n+1): = a^n * a. Behauptung wäre a^(n+m) = a^n * a^m für natürliche n und m.

Das kannst du. Oder?

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Nun kommt m in der Fragestellung in zwei verschiedenen Funktionen vor. Erstens zum Beschreiben der Grösse der Matrizen und dann auch noch als Exponent von A.

War das bei m=2 (Aufgabe vorher) auch schon so?