Berechne die Nullstellen für folgende Funktion:

Question

Aufgabe:

Ich habe bei der Klausurvorbereitung in einer Altklausur folgende Aufgabe gefunden:

Berechne die Nullstellen für folgende Funktion:

f(x) = ax^2 − 2xa^2 + a^3 + a

Problem/Ansatz:

Ich habe schon mehrere Methoden probiert, leider komme ich auf keine Lösung.

Die Aufgabe soll ohne Taschenrechner gelöst werden.

Vielleicht könnt ihr mir ja helfen:)

Answer 1

Hallo,

\(ax^2-2a^2x+a^3+a=0\quad|:a\\ x^2-2ax+a^2+1=0\\\)

pq-Formel

\(\\x_{1,2}=a\pm\sqrt{a^2-(a^2+1)}\\ \\x_{1,2}=a\pm\sqrt{-1}\\\)

Die Funktion hat also keine Nullstellen.

Gruß, Silvia

Answer 2

f(x) = ax^2 − 2xa^2 + a^3 + a

ax^2 − 2xa^2 + a^3 + a = 0

a * ( x^2 − 2xa + a^2 + 1 ) = 0

x^2 − 2xa + a^2 + 1 = 0 |

( x - a )^2  + 1 = 0

( x- a )^2 ist stets > 0
1 > 0

Der Term ( x - a )^2  + 1 ist stets > 0
also nie gleich null

Answer 3

ax² − 2xa² + a³ + a=a(x² − 2xa + a² + 1)

x² − 2xa + a² + 1=0 hat keine reellen Lösungen (mit pq-Formel).

Daher gibt es keine reellen Nullstellen.

Answer 4

Verwende die Mitternachtsformel.

\(\LARGE x=\frac{2 a^{2} \pm \sqrt{4 a^{4}-4 a\left(a^{3}+a\right)}}{2 a} \quad \large (a \neq 0)\)

Comments

Da unter der Wurzel -4a² steht, was nicht positiv sein kann, gibt es keine Nullstelle.

Answer 5

Interessant ist diese Aufgabe nur für \(a\neq 0\).

Dann gilt \(f(x)=a(x^2-2ax +a^2+1)=0\iff x^2-2ax+(a^2+1)=0\).

Die pq-Formel liefert \(x_{1,2}=a\pm\sqrt{a^2-(a^2+1)}=a\pm i\).

Es gibt also keine reellen Lösungen, wohl aber zwei zueinander

konjugierte komplexe Nullstellen.

Answer 6

Durch a dividieren:

x^2-2ax+a^2+1=0

pq-Formel:

p= -2a, q= a^2+1

a+-√(a^2-a^2-1) = a+-√-1

-> keine reelle Lösung

Answer 7

f(x) = ax^2 − 2xa^2 + a^3 + a

ax^2 − 2xa^2 + a^3 + a=0 |:a  mit a≠0

x^2 − 2xa + a^2 + 1=0 |-a^2-1

x^2 − 2xa =-a^2-1

(x-a)^2=-a^2-1+a^2

(x-a)^2=-1

Es gibt keine Nullstelle:

2.Weg:

f´(x)=2ax-2a^2

2ax-2a^2=0

ax=a^2

x=a    f(a) =a    S(a|a)

f(x)=a*(x-a)^2+a  Scheitelform der Parabel

a*(x-a)^2+a=0

a*(x-a)^2=-a|:a

(x-a)^2=-1

Answer 8

f(x) = a·x^2 - 2·a^2·x + a^3 + a

a ausklammern

f(x) = a·(x^2 - 2·a·x + a^2 + 1)

Binomische Formel erkennen und Umwandeln

f(x) = a·((x - a)^2 + 1)

Satz vom Nullprodukt

a = 0 oder (x - a)^2 + 1 = 0

Ein Quadrat ist immer größer gleich Null. Ein Quadrat plus 1 ist daher immer größer oder gleich 1 und nie Null. Es gibt für a ≠ 0 also keine Nullstelle.