Aloha :)
Ich habe mal versucht, die Situation mit Plotlux darzustellen:
~plot~ ln(x) ; ln(x)*(x>=2,5)*(x<=3) ; ln(2,5)*(x>=2,5)*(x<=3) ; {3|ln(2,5)} ; {2,5|ln(2,5)} ; {3|ln(3)} ; [[1|4|0|1,5]] ~plot~
Wenn die blaue Graph um die \(t\)-Achse rotiert, entsteht ein Rotationskörper. Gesucht ist die Oberfläche dieses Rotationskörpers. Zur Herleitung betrachten wir das Dreieck aus der Abbildung. Du erkennst drei Punkte, links unten den Punkt \(A\), rechts daneben den Punkt \(B\) und darüber den Punkt \(C\):$$A(t|f(t))\quad;\quad B(t+\Delta t|f(t))\quad;\quad C(t+\Delta t|f(t)+\Delta f)$$
Wenn der Punkt \(A(t|f(t))\) um die \(t\)-Achse rotiert, erhalten wir einen Kreis mit dem Radius \(f(t)\). Sein Umfang beträgt \(U=2\pi\,f(t)\). Wenn man diesen Umfang mit der Strecke \(\overline{AC}\) multipliziert, also mit der Länge der Hypotenuse des Dreiecks, erhält man näherungsweise die Oberfläche des Rotationskörpers über dem Intervall \([t|t+\Delta t]\).$$\Delta A\approx 2\pi f(t)\cdot\overline{AC}$$Die Stecke \(\overline{AC}\) erhalten wir mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras:$$\Delta A\approx 2\pi f(t)\cdot\sqrt{(\Delta t)^2+(\Delta f)^2}=2\pi f(t)\cdot\sqrt{1+\left(\frac{\Delta f}{\Delta t}\right)^2}\cdot\Delta t$$
Wenn wir den Abstand der Punkte \(A\) und \(B\) immer kleiner machen, also \(\Delta t\to0\) gehen lassen, wird die Näherung immer exakter. Im infinitesimalen Grenzfall gilt daher für das Oberflächenelement:$$dA=2\pi f(t)\sqrt{1+\left(\frac{df}{dt}\right)^2}\,dt$$
Die gesamte Oberfläche ergibt sich nun aus Integration dieser Flächenelemente entlag der \(t\)-Achse:$$A=\int\limits_a^bdA=\int\limits_a^b2\pi f(t)\sqrt{1+(\,f'(t)\,)^2}\,dt$$
