Beweisen Sie: ∀ n ∈ ℕ : Isn -eI < 1/(n!*n)

Question

Für n ∈ ℕ sei s_n = ∑(für k=0 bis n) 1/k! und e= ∑(für k=0 bis ∞) 1/k!

Beweisen Sie: ∀ n ∈ ℕ : Is_n -eI < \( \frac{1}{n!*n} \)

und

Schlussfolgere aus dem obigen Beweis, dass e eine irrationale Zahl ist über den indirekten Beweis

Comments

Hallo

steht da wirklich Isn -eI < \( \frac{1}{n!*n} \) oder eher Isn -eI > \( \frac{1}{n!*n} \)

lul

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Hallo.. Ja, da steht wirklich Isn-eI < 1/(n!*n)

Answer 1

Hallo

1. sn-e aufschreiben ergibt \( \sum\limits_{k=n+1}^{\infty}{1/k!} \)

damit ist für teil b) schon mal klar |sn-e|>1/(n+1)!

jetzt für < muss man die Summe abschätzen man hat 1/(n!(n+1)=*(1+1/(n+2)+1/((n+2)*(n+3))+.....< 1/(n+1)*(1+1/(n+2)+^/(n+2)^2+...

also geometrische Reihe für 1/(n+2)  damit 1/n!1/(n+1)*1/(1-1/(n+2))= 1/n!(n+2)/(n+1)*(n+1)<1/n!*n

jetzt nimm an e=q/n  setz das ein  und multiplizier mit n! im Betrag dann nur noch ganze Zahlen!

lul