Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable

Question

Aufgabe: Ich habe eine Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable X. f(x)= 1/(x*ln(14))       1≤x≤14

                                                                                                                              0               sonst

Berechne folgende Größen:

P(X<16.7) ... 1.07

P(5.5<X<12.2) ... 0.3

Problem/Ansatz:

Hallo, könnte mir jemand sagen, ob ich richtig gerechnet habe bzw. anderen Falls mir weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen lautet:$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{x\ln(14)} & \text{für } 1\le x\le14\\[1ex]0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert $<16,7$ annimmt, ist damit gleich $1$. In der Rechnung musst du beachten, dass die Dichtefunktion nur bis zu $x=14$ Beiträge leistet, weil sie für $x>14$ verschwindet:$$P(X<16,7)=\int\limits_{1}^{16,7}\frac{1}{x\ln(14)}dx=\int\limits_{1}^{14}\frac{1}{x\ln(14)}dx+\int\limits_{14}^{16,7}0\,dx=\frac{1}{\ln(14)}\int\limits_{1}^{14}\frac{1}{x}dx$$$$\phantom{P(X<16,7)}=\frac{1}{\ln(14)}\left[\ln(x)\right]_{1}^{14}=\frac{1}{\ln(14)}\left(\ln(14)-\ln(1)\right)=1$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert zwischen $5,5$ und $12,2$ annimmt, ist$$P(5,5<X<12,2)=\int\limits_{5,5}^{12,2}\frac{1}{x\ln(14)}dx=\frac{1}{\ln(14)}\int\limits_{1}^{14}\left[\ln(x)\right]_{5,5}^{12,2}$$$$\phantom{P(5,5<X<12,2)}=\frac{\ln(12,2)-\ln(5,5)}{\ln(14)}\approx0,3019$$