Beweis zur Anzahl quadratischer Reste und Nichtreste unklar

Question

Ich habe einen Beweis zur Anzahl quadratischer Reste und Nichtreste gegeben, doch verstehe Teile davon leider nicht.

Die $$\frac{p-1}{2}$$ Zahlen sind inkongruent mod p und offensichtlich quadratische Reste mod p.

Dass es keine weiteren gibt, erkennt man mithilfe einer primitiven Restklasse [g]: Genau dann ist die Kongruenz $$g^{2\epsilon} \equiv g^{\beta} (mod p)$$ lösbar, wenn die Kongruenz $$2\epsilon \equiv \beta (mod p-1)$$ lösbar ist. und dies ist genau dann der Fall, wenn $$\beta$$ gerade ist.

Mir ist leider unklar, wie ich von $$2\epsilon \equiv \beta (mod p-1)$$ auf $$g^{2\epsilon} \equiv g^{\beta}( mod p)$$ schließen kann.

Answer 1

Sei \(2\epsilon \equiv \beta (mod\ p-1)\), dann gibt es eine ganze Zahl \(k\)

mit \(2\epsilon=\beta+(p-1)k\). Daraus folgt

\(g^{2\epsilon}=g^{\beta+(p-1)k}=g^{\beta}(g^{p-1})^k\equiv\)

\(\equiv g^{\beta}\cdot 1^k=g^{\beta}\);

denn \(g\) hat die Ordnung \(p-1\).