Beweisen, dass sinh x>0 für alle x>0

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie sinh x>0 für alle x>0.

Problem/Ansatz:

Schreibe bald eine Klausur würde mich über eine schnelle Antwort freuen.

Answer 1

hallo

benutze die Def durch e Funktionen und e^x>1 für alle x>0 e^-x<1 für als x>0.

sonst die Reihe für sinh(x)

lul

Answer 2

Aloha :)

Mit Hilfe der dritten binomischen Formel findest du:$$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{-x}\cdot(e^{2x}-1)}{2}=\frac{e^{-x}\cdot(e^x+1)\cdot(e^x-1)}{2}$$Für \(x>0\) ist \(e^x>1\), sodass alle Faktoren im Zähler positiv sind:$$e^{-x}=\frac{1}{e^x}>0\quad;\quad e^x+1>2\quad;\quad e^x-1>0$$Daher gilt:$$x>0\quad\implies\quad\sinh(x)>0$$