Kombinatorik: Bestimme die Anzahl der Passwörter

Question

Bestimme die Anzahl der Passwörter, deren Länge 6 oder 7 beträgt und die nur aus Großbuchstaben (26 Buchstaben) bestehen. Wie viele von ihnen enthalten mindestens ein A? (Es reicht hier eine Formel anzugeben)

Ich weiß, dass für Länge 6:     26⁶

Und für Länge 7:                     26⁷ Möglichkeiten gibt.

Für Passwörter mit Länge 6:

Für 1 A:          1¹·25⁵

Für 2 A:          1²·25⁴  und so weiter

...

Für 6 A: ... dann würde ich die Ergebnisse addieren

Für Passwörter mit Länge 7 würde ich dann genau so vorgehen (mit der Exponente 7) und die Summe der Ergebnisse mit dem obigen Ergebnis addieren.

Wäre diese Vorgehensweise korrekt?

Answer 1

Bestimme die Anzahl der Passwörter, deren Länge 6 oder 7 beträgt und die nur aus Großbuchstaben (26 Buchstaben) bestehen. Wie viele von ihnen enthalten mindestens ein A? (Es reicht hier eine Formel anzugeben)

26^6 - 25^6 + 26^7 - 25^7 = 1993069702 = ca. 2 Milliarden Passwörter

Answer 2

Aloha :)

Es gibt \(26^6\) Passwörter mit 6 Buchstaben.

Es gibt \(26^7\) Passwörter mit 7 Buchstaben.

Bei den Passwörtern mit mindestens einem "A" sind deine Überlegungen noch unvollständig. Bei \(1^1\cdot25^5\) gehst du davon aus, dass das erste Zeichen ein "A" ist und die 25 folgenden Zeichen kein "A" sind. Darin hast du nicht berücksichtigt, dass das "A" auch an anderer Stelle stehen kann und dass nach "mindestens" einem "A" gefragt ist. Am einfachsten überlegst du dir, die Anzahl der Kombinationen, die überhaupt kein "A" enthalten und subtrahierst diese von der Anzahl aller möglichen Kombinationen:

$$P(\text{6 Zeichen, min. ein "A"})=26^6-25^6$$$$P(\text{7 Zeichen, min. ein "A"})=26^7-25^7$$