Fußball-WM Bernoulli-Kette

Question

Während der Fußballweltmeisterschaft 2010 in Südafrika gelangte der Krake Paul aus dem Aquarium in Oberhausen zu großer Berühmtheit. „Orakel-Paul" konnte den Ausgang von acht Spielen richtig voraussagen (die sieben deutschen Spiele und das Endspiel). Dabei musste er sich immer zwischen zwei Futterboxen entscheiden, die jeweils eine Miesmuschel und die Flagge einer der beiden aufeinandertreffenden Mannschaften enthielten. Bei der Befragung des Orakels wird davon ausgegangen, dass Krake Paul eine der beiden Boxen willkürlich wählt.

Beachten Sie, dass für die gesamte Aufgabe 1 aus Vereinfachungsgründen gilt: es gibt jeweils nur zwei Ausgänge (Sieg bzw. Niederlage), die gleichwahrscheinlich sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Unwissender (davon muss man bei Paul wohl ausgehen) beim Tippen des Ausgangs

a) von acht Fußballspielen genau sieben richtig tippt,

b) von acht Fußballspielen das erste und genau ein weiteres Spiel richtig tippt,

c) von den 64 Spielen der WM genau 32 richtig tippt,

d) von den 64 Spielen der WM mindestens 32 richtig tippt,

e) von den 64 Spielen der WM mindestens 26 aber höchstens 38 richtig tippt,

f) von den 306 Spielen einer Bundesligasaison genau 140 richtig tippt.

Answer 1

a) $$P=\begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix}*0,5^{ 7 }*(1-0,5)^{ 8-7 }=8*0,5^{ 8 }=0,03125$$

b) $$P=0,5*\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}*0,5^{ 1 }*(1-0,5)^{ 7-1 }=0,5*7*0,5^{ 1 }*0,5^{ 6 }$$$$=7*0,5^{ 8 }\approx 0,02734$$

c) $$P=\begin{pmatrix} 64 \\ 32 \end{pmatrix}*0,5^{ 32 }*(1-0,5)^{ 64-32 }=\begin{pmatrix} 64 \\ 32 \end{pmatrix}*0,5^{ 64 }=\approx 0,09935$$

d) $$P=\sum _{ k=32 }^{ 64 }{ \begin{pmatrix} 64 \\ k \end{pmatrix}*0,5^{ k }*(1-0,5)^{ 64-k } } =\sum _{ k=32 }^{ 64 }{ \begin{pmatrix} 64 \\ k \end{pmatrix}*0,5^{ 64 } } \approx 0,54967$$

e) $$P=\sum _{ k=26 }^{ 38 }{ \begin{pmatrix} 64 \\ k \end{pmatrix}*0,5^{ k }*(1-0,5)^{ 64-k } } =\sum _{ k=26 }^{ 38 }{ \begin{pmatrix} 64 \\ k \end{pmatrix}*0,5^{ 64 } } \approx 0,89658$$

f) $$P=\begin{pmatrix} 306 \\ 140 \end{pmatrix}*0,5^{ 140 }*(1-0,5)^{ 306-140 }=\begin{pmatrix} 306 \\ 140 \end{pmatrix}*0,5^{ 306 }\approx 0,01514$$