Eine Verknüpfung auf der Menge P(M) / ~ ( der Menge der Äquivalenzklassen ), die unabhängig von der …

Question

Aufgabe:

sei M = {1,2,3,4,5,6} und P(M) die Potenzmenge von M. Wir betrachten die folgende Relation

A~B : <=> | A | = | B | für alle A,B Teilmengen von M

Liefert die Durchschnittbildung

 ∩: P(M) X P(M) —> P(M)

   (A,B) —> A∩B

Eine Verknüpfung auf der Menge P(M) / ~ ( der Menge der Äquivalenzklassen ), die unabhängig von der Repräsentantenwahl ist?

Problem/Ansatz:

… ich weiß, dass ich das ganze auf „Wohldefiniertheit“  und Repräsentantenunabhängigkeit prüfen muss, nur weiß ich nicht wie

Müsste ich für wohldefiniert zeigen, dass wenn ich unterschiedliche Elemnte aus z.B. der Äquivalenzklasse welche aus Teilmengen mit jeweils 2 Elemnten besteht auch mehrfach mit unterschiedlichen Repräsentanten die gleiche P(M) abbilden kann

Z.B.

({1,2},(2,3)} -> {2}

({2,4}, {2;3}) -> {2}

Damit wäre es ja nicht nicht wohldefiniert oder?

Bei der Repräsentantenunabhängigkeit habe ich jedoch keine Idee.

Answer 1

Es sind z.B A={2,3,4} B={4,5,6} C={1,2,3} in der gleichen Äquivalenzklasse.

Alle haben genau 3 Elemente.

Aber wenn man sie mit ∩ verknüpft ergibt

A∩B eine 1-elemntige aber A∩C eine 2-elemnetige Menge.

Also Ergebnisse, die nicht in der gleichen Äquivalenzklasse sind,

damit ist die Verknüpfung nicht unabhängig von der Repräsentantenwahl.