Bestimmen Sie dimQ ker(λ · idQn×n − f) für alle λ ∈ Q.

Question

Aufgabe:

Für n ≥ 2 betrachten wir die lineare Transpositionsabbildung
f : Qn×n → Qn×n
A → A^t.

a) Was sind die Eigenwerte von f?

b) Ist f diagonalisierbar?

c) Bestimmen Sie dimQ ker(λ · idQn×n − f) für alle λ ∈ Q.

Problem/Ansatz:

Hey!

Ich habe ein Problem mit meiner Aufgabe hier aus einer Altklausur:

Für a) Habe ich die Eigenwerte 1 und (-1) raus. Die habe ich so halbwegs hinbekommen.

Bei der b) und bei der c) stehe ich komplett auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich da vorgehen soll (vor allem bei der c).

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!

LG

Answer 1

a) ✓

b) f ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus

Eigenvektoren gibt. Es ist dim Q^nxn = n^2. Aber ...

s. Kommentar, da war ein Fehler drin.

c) Sei A∈ker(λ · idQn×n − f)

==>  (λ · idQn×n − f)(A) = 0

==>  λ · A = f(A) =  A^t .

1. Fall λ=0 . Dann gehört nur die 0-Matrix dazu,

also dim = 0.

2. Fall λ≠0. Dann alle Diagonalelemente 0 sein

und bei zwei "gegenüberliegenden" Elementen x,y

muss gelten  λx=y  und   λy=x. ==>   λ^2 * y= y

Wenn A nicht die 0-Matrix ist, gibt es  ein y≠0, also

      gilt   λ^2 =  1 ==>     λ=1 oder λ=-1.

Dann sind die Basiselemente jeweils Matrizen,

die z.B unterhalb der Diagonale ein Element 1

und ansonsten 0en haben und entsprechend

"gegenüber" eine 1 oder -1. Gibt dim = n^2/2 - n

(siehe b).

Comments

Ah okay danke dir soweit! Ich denke, dass ich den Teil jetzt wenigstens verstanden habe :)

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Hallo,

ich habe die Antwort zur Diagonalisierbarkeit noch nicht verstanden: Eigenelemente zum Eigenwert 1 sind alle symmetrischen Matrizen, zum Eigenwert -1 alle schiefsymmetrischen Matrizen. Jede Matrix lässt sich als Summe aus eine symmetrischen und eine schiefsymmetrischen Matrix darstellen:

$$A=0.5(A+A^T)+0.5(A-A^T)$$

Also bilden die Eigenelemente eine Basis!?

Gruß Mathhilf

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Oha, da hatte ich mich wohl vertan.