Wie groß ist die Fläche?

Question

Aufgabe:

Dargestellt ist der Graph zwischen \(y=x^3\)  und \(y=0\).

(a) Die von \(y=x^3\)  und \(y=0\)  eingeschlossene Fläche wird durch die Summe der beiden folgenden Integrale angegeben. (Geben Sie das Integral mit den kleineren Grenzen als zuerst ein.)

Problem/Ansatz:

Comments

Berechne das Integral von 0 bis 1 und verdopple das Ergebnis.

Answer 1

Aloha :)

Wenn der Graph einer Funktion unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist sein Integral negativ. Verläuft er oberhalb der \(x\)-Achse, ist sein Integral positiv. Daher darfst du hier nicht von \((-1)\) bis \(1\) durchintegrieren, das Gesamtintegral wäre null. Vielmehr musst du bei der Bestimmung der Fläche die Nullstellen der Funktion beachten:$$F=\left|\int\limits_{-1}^0x^3\,dx\right|+\left|\int\limits_0^1x^3\,dx\right|$$

Die Betragszeichen um die Integrale ersparen dir die Prüfung, ob der Graph unter- oder oberhalb der \(x\)-Achse verläuft.

Wegen der Symmetrie der Situation kannst du dir die konkrete Rechnung vereinfachen:$$F=2\cdot\left|\int\limits_0^1x^3\,dx\right|=2\left|\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1\right|=2\cdot\frac14=\frac12$$