Mengen M,N Beweis, sei x in...

Question

Aufgabe: (M∪N) \ (M∩N) = (M\N) ∪ (N\M)

Problem/Ansatz:

Seien M, N Mengen. Dann gilt für alle x:

x ∈ (M∪N) \ (M∩N) ⇔ x ∈ (M∪N) ∧ x ∉ (M∩N) ⇔ (x ∈ M ∨  x ∈ N) ∧ (x ∉ M ∧ x ∉ N) ⇔

Wie mache ich hier weiter? Man muss doch jetzt eigentlich, wenn man weiter macht, immer die GESAMTE linke Klammer nehmen, und dann einmal mit x nicht in M, und dann verunden mit der gesamten linken klammer einmal mit x nicht in N, oder?

Also man muss immer die ganze linke Klammer nehmen, und darf nicht zum Beispiel das erste Element mit dem ersten der rechten Klammer, dann das erste Element mit dem zweiten der rechten Klammer, und das selbe mit dem zweiten Element der linken klammer, oder?

Answer 1

x ∈ (M∪N) ∧ x ∉ (M∩N) ⇔ (x ∈ M ∨  x ∈ N) ∧ (x ∉ M ∧ x ∉ N)

Das ist nicht richtig.

Beispiel. M = {0}, N = ∅, x = 0. Dann ist

        x ∈ (M∪N) ∧ x ∉ (M∩N)

wahr, aber

        (x ∈ M ∨  x ∈ N) ∧ (x ∉ M ∧ x ∉ N)

falsch.

Stattdessen:

        x ∈ (M∪N) ∧ x ∉ (M∩N)
   ⇔ (x ∈ M ∨  x ∈ N) ∧ ¬(x ∈ M ∧ x ∈ N).

Dabei ist

        ¬(x ∈ M ∧ x ∈ N)

äquivalent zu

        x ∉ M ∨ x ∉ N.

Comments

Dankeschön. Und wie geht es dann weiter? Dann habe ich ja trotzdem links eine klamer mit zwei elementen sowie rechts eine mit zwei. Muss ichdann die gesamte linke klammer mit einem element der rechten kombinieren, und dann mit dem anderen element jeweils? oder immer zweier paare?

---

Distributivgesetz

        \((A \vee B)\wedge C \iff (A\wedge C)\vee (B\wedge C)\)

---

Also wäre

(x ∈ M ∧ x ∉ M) ∨ (x∈ M ∧ x ∉ N) ∨ (x ∈ N ∧ x ∉ M) ∨ (x∈ N ∧ x ∉N)

⇔ (x∈ M ∧ x ∉ N)  ∨ (x ∈ N ∧ x ∉ M)

⇔ x ∈ (M\N) ∨ x ∈ (N\M)

⇔ x ∈  ((M\N) ∪ (N\M)) richtig?

---

Das ist richtig.