Aufgabe:
Aufgabe 2 (Differenzierbarkeit) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right), & \text { falls } x \neq 0 \\ 0, & \text { falls } x=0 \end{array}\right. \)
Sei ferner
\( M:=\left\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}\right\} . \)
a) Zeigen Sie: Ist \( x \neq 0 \) und \( x \notin M \), so ist \( f \) differenzierbar in \( x \) mit
\( f^{\prime}(x)=2 x\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right)-1 . \)
Problem/Ansatz:
Ich verstehe die folgende Lösung zu dieser Aufgabe nicht. Wieso ist \( t \rightarrow\left[\frac{1}{t}\right] \) konstant und warum
addiert man bei der Ableitung den rechten Teil(also ab x^2), woher kommt dieser Teil der Rechnung und wieso zeigt er die Differenzierbarkeit?
Aufgabe 2:
a) Ist \( x \neq 0 \) and \( x \notin M \), so ist die Funktion \( t \rightarrow\left[\frac{1}{t}\right] \) in einer Umgebung von \( x \) konstant. Es folgt
\( \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=2 x\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right)+x^{2} \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=\\ &=2 x\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right)-1 . \end{aligned} \)
