Hallo,
hj schrieb:
Es könnte bei passenden Integralgrenzen (z.B. 0 bis 2pi oder -a bis a) dennoch richtig sein.
Sehr guter Hinweis!
Es gilt also eine zweites Integral über \(n(x)\) zu finden, welches in den gleichen Grenzen den Wert 0 annimmt. Also $$\int\limits_a^b f(x) \,\text{d}x+ \underbrace{\int\limits_a^b n(x)\,\text dx}_{=0} = \int\limits_a^b \left(f(x)+n(x)\right) \,\text{d}x$$in der Hoffnung, das der Term \(f(x)+n(x)\) eine Vereinfachung gegenüber \(f(x)\) darstellt.
Das Integrationsintervall ist \([\pi/2;\,3\pi/2]\). Die Mitte liegt bei \(\pi\). Man kann also eine zu \(\pi\) ungerade symmetrische Funktion*) \(u(x)\) wählen und das Integral dieser Funktion dazu addieren. Weiter kann man diese Funktion mit jeder geraden symmetrischen Funktion \(g(x)\) bezogen auf \(\pi\) multiplizieren.
*) ich kenne den korrekten Ausdruck dafür nicht!
Dann wird folgendes Integral zu 0 $$\int\limits_a^b \left(u(x)\sum_i g_i(x)\right)\,\text dx = 0 \quad \quad \frac{a+b}2= \pi$$
Eine ungerade zu \(\pi\) symmetrische Funktion wäre$$u(x)= \sin(x) \quad \text{da}\space \sin(\pi + x) = -\sin(\pi - x)$$gerade zu \(\pi\) symmetrische Funktionen sind$$g_1 = \cos(x) \quad \text{da}\space \cos(\pi + x) = \cos(\pi - x) \\ g_2=\sin^2(x) \quad \text{da} \space \sin^2(\pi + x) = \sin^2(\pi -x)$$und in diesem speziellen Fall hat man gewählt$$n(x)= 2\sin(x)\left(\sin^2(x)-\cos^2(x)\right)$$\(\sin(x)\) ist eine ungerade Funktion und die anderen sind Kombinationen von geraden Funktionen. Daher ist hier$$\int\limits_a^b \left(2\sin(x)\left(\sin^2(x)-\cos^2(x)\right)\right)\,\text dx = 0 \quad \text{für} \space \frac{a+b}2=\pi$$Addiere also diesen Term zu dem Ausgangsterm hinzu und es entsteht der Term, der in der Lösung angegeben ist.
Hier noch mal im Bild
https://www.desmos.com/calculator/eqox7aeeqx
Die Funktion mit dem blauen Graphen ist gegeben. Dann wird die Funktion des roten Graphen hinzu addiert - wobei man sieht, dass diese innerhalb des markierten Intervalls (punkt-)symmetrisch ist. Ihr Integral ist also 0. Und das Ergebnis ist der grün gestrichelte Graph.
Gruß Werner
