Hallo,
hj schrieb:
Es könnte bei passenden Integralgrenzen (z.B. 0 bis 2pi oder -a bis a) dennoch richtig sein.
Sehr guter Hinweis!
Es gilt also eine zweites Integral über \(n(x)\) zu finden, welches in den gleichen Grenzen den Wert 0 annimmt. Also $$\int\limits_a^b f(x) \,\text{d}x+ \underbrace{\int\limits_a^b n(x)\,\text dx}_{=0} = \int\limits_a^b \left(f(x)+n(x)\right) \,\text{d}x$$in der Hoffnung, das der Term \(f(x)+n(x)\) eine Vereinfachung gegenüber \(f(x)\) darstellt.
Das Integrationsintervall ist \([\pi/2;\,3\pi/2]\). Die Mitte liegt bei \(\pi\). Man kann also eine zu \(\pi\) ungerade symmetrische Funktion*) \(u(x)\) wählen und das Integral dieser Funktion dazu addieren. Weiter kann man diese Funktion mit jeder geraden symmetrischen Funktion \(g(x)\) bezogen auf \(\pi\) multiplizieren.
*) ich kenne den korrekten Ausdruck dafür nicht!
Dann wird folgendes Integral zu 0 $$\int\limits_a^b \left(u(x)\sum_i g_i(x)\right)\,\text dx = 0 \quad \quad \frac{a+b}2= \pi$$
Eine ungerade zu \(\pi\) symmetrische Funktion wäre$$u(x)= \sin(x) \quad \text{da}\space \sin(\pi + x) = -\sin(\pi - x)$$gerade zu \(\pi\) symmetrische Funktionen sind$$g_1 = \cos(x) \quad \text{da}\space \cos(\pi + x) = \cos(\pi - x) \\ g_2=\sin^2(x) \quad \text{da} \space \sin^2(\pi + x) = \sin^2(\pi -x)$$und in diesem speziellen Fall hat man gewählt$$n(x)= 2\sin(x)\left(\sin^2(x)-\cos^2(x)\right)$$\(\sin(x)\) ist eine ungerade Funktion und die anderen sind Kombinationen von geraden Funktionen. Daher ist hier$$\int\limits_a^b \left(2\sin(x)\left(\sin^2(x)-\cos^2(x)\right)\right)\,\text dx = 0 \quad \text{für} \space \frac{a+b}2=\pi$$Addiere also diesen Term zu dem Ausgangsterm hinzu und es entsteht der Term, der in der Lösung angegeben ist.
Hier noch mal im Bild
Die Funktion mit dem blauen Graphen ist gegeben. Dann wird die Funktion des roten Graphen hinzu addiert - wobei man sieht, dass diese innerhalb des markierten Intervalls (punkt-)symmetrisch ist. Ihr Integral ist also 0. Und das Ergebnis ist der grün gestrichelte Graph.
Gruß Werner
