Welche der folgenden Funktionen ist holomorph auf C?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Funktionen ist Holomorph auf C?

\( f(x+i y)=i x+y \)
\( f(x+i y)=x-i y \)
\( f(x+i y)=x+y \)
\( f(x+i y)=i x-y \)

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, jedoch sind die mir hier augenscheinlich nicht nützlich bzw wäre laut meiner Rechnung keiner dieser Gleichungen holomorph. Ich finde auch keine Singularitäten oder Polstellen in den Gegebenen Funktionen.

Answer 1

Die letzte Funktion ist \(f(z)=iz\).

Die ist ganz sicher holomorph ;-)

Die anderen nicht !

Comments

Ah okay, aber die CRG sollte das trotzdem erfüllen. Und welche Argumente sprechen denn gegen die anderen Funktionen?

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1. \(u(x,y)=y,\;v(x,y)=x\): \(\quad u_y=1,\; v_x=1\neq -u_y\)

2. \(u(x,y)=x,\; v(x,y)=-y\): \(\quad u_x=1,\; v_y=-1\neq u_x\)

3. \(u(x,y)=x+y,\; v(x,y)=0\): \(\quad u_x=1,\;v_y=0\neq u_x\)