Ableiten ln() Bruch Tricks?

Question

Aufgabe: Ableitung f(x)= ln\( \sqrt{\frac{x}{x+1}} \)

Gibt es Tricks oder Tipps diese Funktion einfacher Abzuleiten ?

Answer 1

Der Funktionsterm kann als 0,5(ln(x)-ln(x+1)) geschrieben werden.

Answer 2

Aloha :)

Du kannst die Funktionsgleichung zunächst etwas umformen

$$f(x)=\ln\sqrt{\frac{x}{x+1}}=\ln\left(\,\left(\frac{x+1-1}{x+1}\right)^\frac12\,\right)=\frac12\ln\left(1-\frac{1}{x+1}\right)$$

und dann mittels der Kettenregel ableiten:

$$f'(x)=\frac12\cdot\underbrace{\frac{1}{1-\frac{1}{x+1}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\frac{1}{(x+1)^2}}_{\text{innere Abl.}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x+1)^2-(x+1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{2x(x+1)}$$