Sei z = (x, y), z' = (v, w), dann gilt:
det (z, z') = x*w - y*v = 1
x*w = 1+yv
x = (1+yv)/w
Damit x eine ganze Zahl ist, muss also w ein Teiler von 1+yv sein, mit anderen Worten müssen y und v teilerfremd zu w sein (es sei denn w ist 1).
Damit ein Punkt im Innern/auf dem Rand des Parallelogramms liegt, muss ein ganzes Zahlenpaar (s, t) existieren, mit:
(s, t) = k*(x, y) + (1-k)*(v, w), für irgendein k zwischen 0 und 1
(s, t) = k*((1+yv)/w, y) + (1-k)*(v, w) = (v + k*((1+yv)/w-v), w + k*(y-w))
Insgesamt ist das Ergebnis also dann ein Paar ganzer Zahlen, wenn
k*((1+yv)/w-v) und k*(y-w) gleichzeitig ganze Zahlen sind.
Eine lineare Funktion a*x nimmt im Intervall [0, 1] genau a mal einen ganzzahligen Wert an und zwar in äquidistanten Abständen 1/a. Damit die beiden Funktionen also gleichzeitig einen ganzzahligen Wert annehmen, dürfen die Anstiege nicht teilerfremd sein, das heißt die Division
((1+yv)/w-v)/(y-w)
muss restfrei durchführbar sein. Das bedeutet aber, dass y=w eine Nullstelle des Zählers sein muss:
(1+w*v)/w - v = 1/w ≠ 0
Also kann das Parallelogramm für w < ∞ keinen Gitterpunkt beinhalten.
Ich befürchte, dass da irgendwo der Wurm drin ist, über Korrekturen oder auch nur Hinweise würde ich mich sehr freuen. Auf den ersten Blick scheint mir aber ein richtiger Gedanke drin zu stecken :-)
