Polynomfunktionen und ihre Eigenschaften

Question

Aufgabe:

Hat jemand je 2 Beispiele für Polynomfunktionen mit diesen Eigenschaften:

a) Die Funktion hat den Grad 4 und hat genau eine zweifache Nullstelle.

b) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, er kommt von links oben und geht nach rechts unten und er schneidet genau dreimal die x-Achse.

c) Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, er kommt von links unten und geht nach rechts unten, er berührt die x-Achse genau dreimal.

Answer 1

a) Die Funktion hat den Grad 4 und hat genau eine zweifache Nullstelle.

Doppelte Nullstelle bei x=a bedeutet, dass der Linearfaktor (x-a) quadratisch vorkommen muss, z.B. (x-2)^2.

f(x)=(x-2)^2•(...)

Nun kann es entweder keine weitere Nullstelle oder noch einfache Nullstellen geben.

Z.B. Nullstellen bei 0 und 1:

f(x)=(x-2)²•x•(x-1)

b) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, er kommt von links oben und geht nach rechts unten und er schneidet genau dreimal die x-Achse.

Hier bietet sich eine Polynomfunktion dritten Grades an.

f(x)= -(x+1)•x•(x-1)

Da x³ von links unten kommt, muss ein Minuszeichen am Anfang stehen, damit der Graph von links oben kommt. Punktsymmetrisch zum Ursprung bedeutet, dass eine Nullstelle bei 0 liegt und die anderen gleiche Beträge haben, z.B. -1 und +1.

c) Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, er kommt von links unten und geht nach rechts unten, er berührt die x-Achse genau dreimal.

Die Voraussetzungen bedeuten, dass 0, a und ,-a doppelte Nullstellen sein müssen. "Von links unten" erfordert hier ebenfalls ein Minuszeichen am Anfang.

Z.B. a=2

f(x)= -x²•(x-2)²•(x+2)²

:-)

Answer 2

a) Die Funktion hat den Grad 4 und hat genau eine zweifache Nullstelle.

$$ y = x^2\cdot\left(x^2+1\right) $$

Answer 3

a) Die Funktion hat den Grad 4 und hat genau eine zweifache Nullstelle.

f(x) = x^2 * (x^2 + 1)

b) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, er kommt von links oben und geht nach rechts unten und er schneidet genau dreimal die x-Achse.

f(x) = -x^3 + x

c) Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, er kommt von links unten und geht nach rechts unten, er berührt die x-Achse genau dreimal.

f(x) = - x^2 * (x - 1)^2 * (x + 1)^2

Comments

Deine Antworten zu b) und c) sind falsch.

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Danke für den Hinweis. Ich habe die Vorzeichenfehler korrigiert.

Answer 4

a) f(x)=x²(x²+1)

b) f(x)=-x(x²-1)

c) f(x)= -x²(x²-4)