Zeigen Sie das E zu H parallel ist.

Question

Hallo zusammen. Ich hab einige Probleme bei dieser Aufgabe: Gegeben sind die Punkte A(3|-1|2) B(2|1|0) C(4|3|1), die in einer Ebene E liegen, sowie die Ebene

H: 2x1-x2-2x3=-3

a) Zeigen Sie das E zu H parallel ist.

b) Bestimmen Sie den Abstand von E zu H

C) Bestimmen Sie die Normalengleichung einer Ebene die in der Mitte von E und H liegt.

Also C hab ich garnicht verstanden bei B kenne ich schon den Ansatz und bei a kenne ich eigentlich auch den Ansatz, also das die Normalvektoren vielfachen sind, aber ich hab raus das sie nicht zueinander parralel sind, deswegen denke ich dass ich das falsch hab.

Zu a: ich hab zuerst E: durch die drei Punkte bestimmt und hab dann das raus gekriegt \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\2 \end{pmatrix} \)+r*\( \begin{pmatrix}-1\\2\\-2 \end{pmatrix} \)+s*\( \begin{pmatrix} 1\\4\\-1 \end{pmatrix} \)

Von dieser Ebene hab ich dann die Richtung Vektoren kreuzmultipliziert und hab dann den Vektor n\( \begin{pmatrix} 3\\-1\\-3 \end{pmatrix} \) raus gekriegt. Die Koordinaten von n2 sind ja die Koeffizienten von E und ich hab dann für n2\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\-2 \end{pmatrix} \) raus. Das Ding ist dass sie ja keine Vielfachen sind also nicht parallel sind. Kann mir jemand sagen was ich hier falsch gemacht hab und mir eventuell einen Ansatz für die C geben. Danke im Voraus.

Answer 1

Hallo,

a) geht ganz einfach. Wenn die Geraden parallel sind, haben sie den gleichen Normalenvektor.

Also muss die Gleichung von E so aussehen.

2x1-x2-2x3=k

Wenn du jetzt die Koordinaten von A, B und C einsetzt, erhältst du jedesmal

H: 2x1-x2-2x3=+3.

Das ist also die Gleichung für H.

Da der Betrag des Normalenvektors 3 beträgt, lautet die Hesse'sche Normalenform so:

E: 2/3 • x1-1/3 • x2 - 2/3 • x3=-1

H: 2/3 • x1-1/3 • x2 - 2/3 • x3=+1

Beide Ebenen sind vom Ursprung 1 Längeneinheit entfernt. Ihr Abstand beträgt

d=1-(-1)=2

In der Mitte zwischen 1 und -1 liegt die Null.

Die Mittelebene M hat die Gleichung

M: 2/3 • x1-1/3 • x2 - 2/3 • x3=0

:-)

Comments

Danke dir vielmals, jetzt hab ich das kapiert.

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Die Normalenvektoren können natürlich auch Vielfache voneinander sein. Bei gleichen Normalenvektoren sind sie aber auch parallel (oder identisch).