Surjektiv oder bijektiv mathematisch korrekt beweisen

Question

Aufgabe:

Prüfe, ob folgende Funktionen surjektiv bzw. Injektiv sind:
1) f: ℝ³ → ℝ²,(x,y,z) ↦ (x+y,y+z)
2) f: ℝ² → ℝ³,(x,y) ↦ (x,x+y,y)

Problem/Ansatz:

Guten Abend, ich hätte einmal eine Frage und zwar zu folgender Aufgabe: Nun ja vielleicht hilft es, wenn ich kurz mal erläutere was ich unter Surjektiv bzw. Injektiv verstehe, damit man dann besser meine Herangehensweise verfolgen kann:

Also angenommen ich habe zwei Mengen, A und B

Surjektiv ist eine Abbildung f: A→B zwischen A und B, wenn zu jedem y ∈ B ein x ∈ A mit f(x)=y existiert.

Injektiv ist eine Abbildung f: A→B zwischen A und B, wenn zu jedem y ∈ B höchstens ein x ∈ A mit f(x)=y existiert.

Meine Herangehensweise:

Nun ja, ich habe das ganze einmal grafisch Aufgezeichnet für 1) und 2). Bei der Nummer 1 steht dann im Mengendiagramm für in der Definitionsmenge (A) {x,y,z} und für die Zielmenge (B) {x+y,y+z}. Die Pfeile zeigen dann auf alle Elemente, dadurch ist das ganze dann Surjektiv.

Beim zweiten habe ich das ganze gleich gemacht. In der Definitionsmenge (A), steht hier nur {x,y} und in der Zielmenge B {x,x+y,y}. Hier zeigt der Pfeil vom x auf das x und vom y auf das y, aber keiner auf x+y, da ja ℝ² → ℝ³  oder hat das damit nichts zu tun?

Also 1) ist surjektiv und 2) ist injektiv

Nun ja, aber warum wende ich mich jetzt hier an das Forum? Und zwar habe ich von diesem Übungsblatt eine Korrektur bekommen und in dieser steht "Lösung beispielsweise mit Gleichungssystem oder anderwärtig mathematisch Beweismethode. Eine grafische Lösung war nicht gefordert".

Vielleicht weiß hier wer was da gemeint ist und kann mir das genauer erläutern, jedenfalls Gleichungssystem? Kann das überhaupt sein? Oder halt anders mathematisch Korrekt, welche Möglichkeiten hätte ich hier gehabt?

Danke schon mal und ja, sorry für meinen kurzen Roman ;-).

Comments

Meinst du bei f wirklich (x+x,y+z) oder eher (x+y,y+z) ?

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Ach mein Fehler! Kanne es nur leider nicht mehr ausbessern. Unten weiter habe ich es dann richtig

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Vielleicht bessert es ein Moderator aus, falls er das liest bzw. das noch gehen sollte. Danke jedenfalls falls es wer versucht!

Answer 1

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Text erkannt:

Du musst für jedes Element  aus R^2 ein Element finden, welches auf dieses abbildet

Comments

Also nachvollziehbar ist für mich einmal das ganze, wobei ich beim ersten dann oben mir denken muss, das statt 2x hier x+y steht und in folge dessen ich das ganze dann auf meinen Tippfehler oben anpassen muss, aber das ist jetzt nicht das Problem.

Beim zweiten darf man einen "mathematisch korrekten Beweis" mit Zahlen durchführen, muss das nicht immer allgemein bleiben?

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Du zeigst ja bei der zweiten Aufgabe, dass die Funktion nicht surjektiv ist. Dafür musst du dir Negation der Aussage bilden also: eine Funktion ist nicht surjektiv, wenn du ein Element aus deinem Bild findest sodass du dazu kein Element aus Urbild hast, welches darauf abbildet.

Und in diesem Fall reicht es ja wenn du EINS findest und da kannst du dir eins explizit suchen.

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Aha ok danke

Answer 2

(x,y) ↦ (x,x+y,y)   Für surjektiv formel eher so:

Sei (a,b,c) ∈ℝ^3 . Zu prüfen ist, ob es (x,y) ∈ℝ^2 gibt mit

a=x und b=x+y und c=y Das klappt offenbar nicht, wenn b

einen Anderen Wert hat als x+y. Also z.B. zu (1;5;1) gibt es kein

(x,y) mit f(x,y)= (1;5;1).

Für injektiv macht man es oft so:

Seien (x,y) und (a,b) aus R^2 mit

f(x,y) = f(a,b) und versucht daraus herzuleitern x=a und y=b

also (x,y) = (a,b). Versuch mal !

Comments

Also gut,

f(x,y) = f(a,b)

(x,y) = (a,b)

dann folgt für (x,y) ↦ (x,x+y,y) 
(a,b) ↦ (a,a+b,b)

folglich ist zu sehen, das a+b als Wert nicht existiert, wenn man zum Beispiel Zahlen einsetzt.

Oder wie meintest du?

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Nein für injektiv meinte ich das so:

  f(x,y) = f(a,b)

<=>  (x,x+y,y) =  (a,a+b,b)

<=>  x=a und x+y=a+b und y=b

Also (x,y) = (a,b).

D.h.: Gleiche Funktionswerte gibt es nur bei

gleichen Argumentwerten, also ist f injektiv.