Zeigen Sie, dass es Basen A von V und B von W gibt, sodass M AB(F)=

Question

Aufgabe:

Seien V, W zwei endlich dimensionale K-Vektorräume und sei F : V → W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass es Basen A von V und B von W gibt, sodass M ^A_B(F)=

Er	0
0	0

.

Answer 1

Wähle eine Basis vom Kern von F :

\(  (\vec{v_1},\vec{v_2},\dots,\vec{v_k}) \)

Und ergänze diese durch r weitere Vektoren zu der Basis A von V:

\(  (\vec{u_1},\vec{u_2},\dots,\vec{u_r},\vec{v_1},\vec{v_2},\dots,\vec{v_k})  \)

Dann sind die Bilder von \(  (\vec{u_1},\vec{u_2},\dots,\vec{u_r})  \) linear

unabhängig in W, weil sie kein Element des Kerns enthalten. Somit lassen sich

\(  (\vec{F(u_1)},\vec{F(u_2)},\dots,\vec{F(u_r)})  \) zu einer Basis B von W

ergänzen. Für diese beiden Basen hat die Matrix von F die gewünschte Form.

Denn es gilt ja für die ersten Basisvektoren von A

\(  \vec{F(u_i)} = 1 \cdot \vec{F(u_i)} \)  also eine Linearkombination der

Basisvektoren von B mit einer 1 an der i-ten Stelle und sonst alles 0en.

Für die hinteren Basisvektoren von A sind in der Linearkombination des Bildes

jeweils nur 0en, da das v_i ja aus dem Kern war.