Ich nehme an, dass einfach
$$f(x,y)=x^{ 2 }*y^{ 3 }$$
gemeint ist, mit der Bedingung
$$g(x,y)=2x+3y=12$$
Zunächst schauen, ob es "kritische Punkte" gibt, also Punkte, an denen der Gradient der Nebenbedingung verschwindet:
$$\nabla _{ x,y }g(x,y)=(2,3)$$
Es gibt offenbar keinen solchen Punkt, der Gradient der Nebenbedingung ist überall konstant und ungleich (0,0).
Nun Lagrange-Funktion ansetzen:
$$\Lambda (x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda (g(x,y)-c)$$$$=x^{ 2 }y^{ 3 }+\lambda (2x+3y-12)$$$$={ x }^{ 2 }y^{ 3 }+2\lambda x+3\lambda y-12\lambda$$
Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen:
$$\frac { \partial \Lambda }{ \partial x } =2{ y }^{ 3 }x+2\lambda =0$$$$\frac { \partial \Lambda }{ \partial y } =3x^{ 2 }y+3\lambda =0$$$$\frac { \partial \Lambda }{ \partial \lambda } =2x+3y-12=0$$
Durch Auflösen dieses Gleichungssystems erhält man:
Aus der ersten Gleichung:
$$\lambda =-{ y }^{ 3 }x$$
Einsetzen in zweite Gleichung:
$${ x }^{ 2 }y-{ y }^{ 3 }x=0$$
Aus der dritten Gleichung:
$$x=6-1,5y$$
Dies eingesetzt in die zweite Gleichung:
$$(36-18y+2,25{ y }^{ 2 })y-{ y }^{ 3 }(6-1,5y)=0$$
Diese Gleichung hat 4 Lösungen für y, nämlich:
$${ y }_{ 1 }=0;{ y }_{ 2 }=4;{ y }_{ 3 }=-\frac { 1 }{ 4 } (\sqrt { 105 } +3);{ y }_{ 4 }=\frac { 1 }{ 4 } (\sqrt { 105 } -3)$$
Mit \(x=6-1,5y\) (siehe oben) ergeben sich damit die entsprechenden x-Werte:
$${ x }_{ 1 }=6;{ x }_{ 2 }=0;{ x }_{ 3 }=\frac { 3 }{ 8 } (19+\sqrt { 105 } );{ x }_{ 4 }=\frac { 3 }{ 8 } (19-\sqrt { 105 } )$$
Die Punkte ( x |y ) , an denen f ( x , y ) = x 2 y 3 unter der Bedingung 2 x + 3 y = 12 Extremwerte hat, sowie ihre dortigen Funktionswerte f ( x , y ) sind also:
$$(6|0)\Rightarrow f(6,0)=0$$$$(0|4)\Rightarrow f(0,4)=0$$$$(\frac { 3 }{ 8 } (19+\sqrt { 105 } )|-\frac { 1 }{ 4 } (\sqrt { 105 } +3))\Rightarrow f(x,y)=-4396,1$$$$(\frac { 3 }{ 8 } (19-\sqrt { 105 } )|\frac { 1 }{ 4 } (\sqrt { 105 } -3))\Rightarrow f(x,y)=64,07$$
Das Maximum liegt also bei ( x4 | y4 ).
